高中数学不等式恒成立问题的探讨
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不等式恒成立问题贯穿在整个高中数学学习中，涉及到函数、方程、不等式、导数、数列等相关知识,是高考中的热点问题，综合性比较强，较难找到解题的切入点和突破口,归纳总结出不等式恒成立的题型和解决方法至关重要,下面笔者将从函数法、分离参数法、数形结合法、最值法四方面来阐述.
（一）函数法
1、转换主元解决恒成立问题
例1、设 ，当 时恒有 ，则 的取值范围是
分析：令 ，这是一个以 为自变量的一次函数，图象是一条直线，则 对 恒成立 ,
得 .
点评：主元思想是指在含有两个或两个以上字母的问题解决过程中，选择其中一个字母作为研究的主要对象，视为“主元”，而将其余字母视作参数或常量， 是主变量, 是参变量（参数）,与习惯的变量形式相反，可以在解题中变换变量的表达形式，即把所有的 换成 ,同时把所有的 换成 ,通俗讲可以认为已知哪个变量的范围就将这个函数看做以哪个为自变量的函数.
2、化归思想，转化为二次函数恒成立问题
例2、已知函数 的定义域为R，则a的取值范围是 .
分析： 对 恒成立.
时恒成立
点评：此题属定义在 上恒成立，借助于图象理解得
恒正 且c>0或
恒负 且c
例3、已知函数 在 上为单调递减函数，求 的取值范围
分析： 在 上恒成立
的图象是一条开口方向向上的抛物线，由图象得
得 ；此题还可用分离参数法求解.
点评：充分利用导数这样的工具来解决函数单调性问题，转化为导函数值的恒正（或负）问题，思路明确，方向清晰.
若函数 在区间 上是增函数， 在区间 上恒成立；
若函数 在区间 上是减函数， 在区间 上恒成立.
3、构造函数法
例4、设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围.
分析：考虑使用分离参数法还是比较容易上手的.由f(x)=(x+1)ln(x+1)≥ax对所有的x≥0恒成立可得：（1）当x=0时，a R. （2）当x>0时， 接下来求 的最小值遇到了困难.
重新分析：由f(x)≥ax得(x+1)ln(x+1)- ax≥0，构造函数g(x)= (x+1)ln(x+1)- ax，问题转化为 恒成立，故 ，显然g(x)的最小值是用a表示的，从而得到关于a的不等式.下面看看能不能把g(x)的最小值求出来.
在同一坐标系中作出它们的图象如下：
从图中可以看出，直线y=x与曲线 恰好切于点（1，1），因此当x>1时， 恒不成立，所以a无解.
当a 时， 列表如下：
综上，a .
点评：在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，因为一些含自然对数和指数函数的不等式恒成立问题，用初等方法难以处理，而利用导数来解，它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法，而且还考查导数等新增内容的掌握和灵活运用.它常与思想方法紧密结合，体现能力立意的原则，带有时代特征，突出了高考试题与时俱进的改革方向.因此，越来越受到高考命题者的青睐.
（二）分离参数法，转化为求函数的最值问题
例5、已知 对任意 恒成立，求 的取值范围。
分析：利用分离参数法将主变量和参数分别位于不等式的左右两边，转化为
恒成立，使得 解得
点评：分离参数法可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于 取值范围内的任一个数都有 恒成立，则 ；若对于 取值范围内的任一个数都有 恒成立，则 .如果分离参数后的函数没有最值，只有上限或下限，那要专门对上限或下限进行检验，研究参数能否取到上限或下限.
例6、设 为常数，数列 的通项公式为
，若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
分析：由 得 对 恒成立
当n为偶数时，
当n为奇数时，
综上，
点评：数列中的不等式恒成立问题涉及的主要方法是分离参数法，通过分离参数转化为数列的最值问题，与函数处理思路是一脉相承的，数列本质上是函数，形散而神不散.
（三）数形结合法
例7、已知不等式 在 上恒成立，则a的取值范围是 .
分析：令 在同一坐标系中画出两者的图象.当a>1时，显然不成立；当0
例8、如果不等式 在 内恒成立，求参数k的取值范围.
分析：令 原命题的否定： 在 有解.即 有交点，在同一坐标系中画出两者的图象.
当直线过（0，2），（5，0）时， 当直线与曲线相切时，解得
所求参数k的取值范围为
点评：当不等式两边的函数图象可以作出，或通过移项可以作出，我们作出图象，利用图象的直观性和运动变化的观点，将数的大小关系化归为图象的上下关系，再从图形的角度还原，寻求代数限制条件，从而求参数的范围，常用角度有某一极端情形如端点、相切等.在上述过程中，反复体现数形结合的重要数学思想.
（四）最值法
例9、已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数.
（1）对任意x [-3，3]，都有f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
（2）对任意x1 、x2 [-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)，求k的取值范围.
分析：(1)8x2+16x-k≤2x3+5x2+4x 对x [-3，3]恒成立
设 ， .
变式训练：看看下面的问题与（1）、（2）有何不同？
存在x [-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
分析：存在x [-3，3]，使得 成立，
反思：利用补集思想解题，原命题的否定： 使得 恒成立，
，故 满足题意.
对于存在性问题（亦即有解问题），我们可以得到下面一组结论：
（1）不等式f(x)
（2）不等式f(x)>k在x I时有解 x I.
不等式恒成立和有解是有明显区别的，各自的充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一谈.
点评：此题（1）中利用分离参数法可求出k的取值范围，但是（2）中利用分离参数法则是完全错误的，因为（2）中左右两边不是同一变量，只能分别求出左右两边函数的最值，需要区别对待. 当然如果不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解.
恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，它以“参数处理”为主要特征，以“导数”为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、最值等有关，所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题.不等式恒成立问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等特点，要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述方法是比较常用的，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结，教师也要介入心理辅导和思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高.