例谈折纸问题的解法

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇例谈折纸问题的解法范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

折纸问题中隐含着很多数学知识，教材中曾多次出现，对同学们来说是一个难点.要解决折纸问题，同学们可先动手折纸，形成感性认识，再动脑思考，形成理性认识.“轴对称性质”是折纸问题的基本原理；“勾股定理”、“相似”是解决折纸问题的基本工具.

例1.如图，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D 、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG＝ 55°，求∠1 ，∠2的度数.

解：由折叠可知：四边形EFCD与四边形EFC'D′关于EF对称，则∠EFC＝∠EFC′，

而∠EFC＝180°－∠EFG

＝180°－55°＝125°，

∠EFC′＝125°，

∠GFC′＝∠EFC′－∠EFG＝125°－55°＝70°，

由AD∥BC可知：ED′∥FC′

∠1＝∠EGF＝∠GFC′＝70°，

∠2 ＋ ∠1＝180°，

∠2 ＝110°.

说明：本题的关键是：由四边形EFCD与四边形

EFC'D'关于EF对称，得出∠EFC＝∠EFC′，而折叠后∠EFC′覆盖了∠EFG，可得∠GFC′＝∠EFC′－∠EFG，问题就不难解决了。

例2.如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使得点D落在BC边的点F处，已知AB＝ 8 cm ，BC＝10cm ，求EC的长.

解：由折叠可知：

RtADE与RtAFE关于AE对称，

RtADE≌RtAFE，

AF＝AD＝BC＝10cm，DE = EF，

CE＋EF＝CD＝8 cm

在RtABF中，由勾股定理，得

BF2＝AF2－AB2＝102－82＝36，

BF＝6 cm，

CF＝BC－BF＝4cm.

设EC＝ x ，则EF＝8－x.

在Rt EFC中，由勾股定理，得

CF2＋ CE2＝EF2，

42＋x2＝ ( 8－x )2，

16 x ＝48， x ＝3，

EC＝3 cm.

说明：这是一道利用“轴对称性质”和“勾股定理”解决折纸问题的典型例题. 在RtCEF中，由于CE＋EF＝CD＝8 cm，设CE＝x，用x表示出EF，再利用勾股定理，解之.

例3. 边长为12的正方形ABCD，在边BC上有一点P，已知PB＝5 ，折叠这一正方形，使点A与点P重合，求折痕线EF的长.

解：连结AP，交EF于G，作FHAB于H，

在RtABP中，AB＝12 ，PB＝5

由勾股定理，得

AP2＝AB2＋ BP2＝122＋52＝169，

AP＝ 13.

由折叠可知：点A与点P关于EF对称，

则直线EF是线段AP的垂直平分线，

∠BAP＋∠AEG＝∠EFH＋∠AEG＝90°，

∠BAP＝∠EFH，

由正方形ABCD可得∠B＝∠EHF＝90°，AB＝AD＝HF，

ABP≌FHE.

EF＝AP＝13.

说明：本题直接求EF很困难，即便构造了

RtEFH，再求EF也不容易.而由ABP≌FHE，得到EF＝AP，在RtABP中，利用勾股定理求出AP，就能很容易地求出EF了.

例4.如图，矩形ABCD中，AB＝ 6 ，先把它对折，折痕为EF ，展开后再折成如图所示，使点A落在EF上的点A′处。求第二次的折痕BG的长.

解：由第一次折叠可知：A、B两点关于EF对称，则直线EF是线段AB的对称轴，所以A'A＝A'B.

由第二次折叠可知：

RtABG与RtA'BG关于BG对称，

RtABG≌RtA'BG，

A′B＝AB＝A'A，

A′BA是等边三角形，

∠ABG＝∠A'BG＝30°，

BG＝2AG.

由勾股定理，得BG2－AG2＝AB2

( 2AG)2－ AG2＝62

3AG2＝36，

AG＝2倍的根3.

说明：该题的图形很复杂，由两次折叠而成.关键是由第一次折叠得A、B两点关于EF对称，直线EF是线段AB的对称轴，从而直线EF就是线段AB的垂直平分线，得到A'A＝A'B，再由第二次折叠得A' B＝AB＝A'A ，即A'BA是等边三角形，得出∠ABG＝∠A'BG＝30°，问题很容易解决了.