经历探究过程 积累活动经验(一)
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《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：教师要发挥主导作用，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，体会和运用数学思想和方法，让学生获得基本的数学活动经验。那么，教师该如何让学生在探究经历中积累数学活动经验呢？下面笔者以“圆的面积”为例，谈一下自己的思考和尝试。
本课教学之前，学生学的都是多边形的面积，要计算圆这样的曲边图形的面积，这是第一次碰到。让学生完全自主探索如何把圆转化成长方形有很大难度。教材给出的明确提示，是让学生利用教师提供的材料，自主发现圆的面积与拼成长方形面积的关系，推导出圆的面积公式。在这个过程中，教师要先让学生回忆学过的图形面积计算方法以及推导过程，唤起学生的已有经验，分析对比推导过程的共同点，使学生明白：将一个图形转化成已学过的图形，是一种基本的数学思想和方法。
一、剪纸游戏──开放性操作
【片段一】
师：同学们，上新课之前我们来做个小游戏。取出长方形的纸和剪刀。谁能马上剪出一个正方形？
师：请你再用这个正方形纸和剪刀剪一个圆，比比谁剪得好？ （学生剪圆）
生：我凭感觉就剪了一个，有点不像。
生：我剪出来的像一朵梅花。
生：我将纸对折再对折，然后剪一刀。
师：看看老师是怎么剪的，请你再试一试。
生：老师我成功了，你看。
生：老师我也成功了。
……
师：我们发现多折几次，然后剪成短直线，折的次数越多，结果越像圆。其实，它是一个正多边形。原来图形经过剪可以转化成其他图形。
【反思】圆是一个曲线图形，它的面积公式推导与以往的平面图形有质的区别。学生不会马上想到通过剪拼的方法，把圆转化成一个近似长方形。学生无法在已有经验的基础上建构，特别是没有课前的预习，对学生来说难度可想而知。所以，让学生破圆转化是关键。笔者曾经在班中做过调查，如果不借助其他任何工具在正方形纸上剪圆，总有部分同学想到这一方法。问其原因，学生都说在以前剪纸游戏中学到过的，看来学生是有这样的生活经验的。将正方形纸对折一次、两次、三次……次数越多，剪出的图形越圆，这种极限思想在学生的操作中自然而然演绎，无须教师再费力去讲。课前通过安排这样一个环节，为本节课圆的转化做好了铺垫。
二、解疑导拨──沟通新旧知识
【片段二】
师：这是一个半径为5厘米的圆，请大家想一想，怎样能求出它的面积？
生：可以剪一剪。
生：根据周长算一算。
生：可以把它剪开来拼成我们学过的图形。
师：看来大部分同学有困难，不过刚才几位同学讲得很好，他们想到了用剪拼的方法来求圆的面积。老师打算给大家一个帮助，我们以前是怎么求平面图形面积的？
生：把平行四边形剪开，拼成长方形。
生：用2个一样的三角形拼成平行四边形。
生：用2个一样的梯形拼成平行四边形。
师：那你打算怎样把这个圆转化成已经学过的图形？
生：我们也可以剪一剪，把圆转化成我们学过的图形。
生：刚才在剪圆的过程中，我发现可以把圆平均分成许多份，把一个个小三角形拼成学过的图形。
……
【反思】通过剪圆游戏，部分学生能发现正方形折的次数越多，剪出的图形越接近圆。这个正多边形是由一个个小三角形组成的。从这里可看出，课前剪圆非常必要，为破圆转化的实现提供了可能。教师通过梳理平行四边形、三角形、梯形等图形的面积计算方法，唤起了学生的已有知识经验，进而推想，圆的面积计算也可以用转化的方法。同时帮助学生回顾这些图形的面积公式推导过程，增强了学生的体验，促使其积累活动经验，感悟数学思想方法。
三、化圆为方──经历生成
【片段三】
师：那你打算怎样把这个圆转化成已经学过的图形？（同桌合作尝试）
生：老师，我把圆平均分成4份，拼成平行四边形。
师：你们觉得像吗？
生：不像，有点弯。
师：谁能更像一点？
生：老师，我这个比较像，我把圆平均分成8份，拼成一个平行四边形。
生：有点像了，下面平起来了。
师：谁能更像一点？
生：老师，我这个比较像，我把圆平均分成16份。
生：越来越像了，像平行四边形。
师：老师这里有32份的，想看吗？
教师演示32份、64份、128份，学生惊呼：哇，越来越接近长方形了！
师：如果继续分，把圆等分几十次、几百次、几千次、几万次，再拼，想象这些图形的底和形状有什么变化？
【反思】保证学生有一定的时间去折、剪、拼、观察，同时教师在小组间巡视，肯定学生的探索成果，及时发现新问题。只有充分重视学生的主体地位，才有学生激烈的讨论，去体验“转化”“逼近”“极限”等数学思想。让学生主动探究、自我建构和体验成功，教师适时地引导，课件创设各种情境，弥补了学生手工操作的缺陷和想象的不足。通过“教师引导”“动手操作”“课件演示”“作品展示”等各种教学手段的有机结合，调动了学生的学习兴趣，促进了学生数学活动经验的积累和提升。
四、计算推导──理解深化
【片段四】
师：求出长方形面积也就知道了圆的面积。长方形面积怎么求？
生：长×宽。
师：老师想给大家提个更高的要求，能不能在刚才研究的基础上推导出圆的面积计算公式呢？刚才告诉你圆的半径为5厘米，请你求出圆的面积。
生：3.14×10÷2×5=78.5（平方厘米）。
师：半径为10厘米的圆，请你算算面积。
生：3.14×10×10=314（平方厘米）。
师：半径为r厘米的圆，请你算算它的面积。
生：πr×r。
【反思】教师利用数、字母让学生动脑思考和推理，5厘米、10厘米、r厘米等几个紧密联系又层层递进的数学任务，最后达成面积公式符号化。借用学生的解释、叙述，发现圆的面积计算公式的推导过程，让全体学生再一次在大脑中回顾、重现。学生经历了数学化的历程，满足了学生的心理需求。通过积极思考和合作交流得出了圆的面积计算公式，引发了学生对数学思想、数学方法的体会和领悟。
总之，通过本课教学，笔者对“数学基本活动经验积累”有了更深刻的认识，在教学实践层面也有进一步的思考：操作活动的系统化有助于学生积累数学活动经验。本节课的数学活动，是让学生“发现”“再创造”数学知识，领悟思想方法，形成能力。由于受到学生思维特点的限制，在教学时要借助实物、模型、图形等具体的外部操作弥补学生的不足。但是直观具体的操作常常依附个体操作，不便于学习过程的推进，所以及时对操作活动进行回顾、反思、讨论、总结，有助于正确处理思维与操作的联系。例如片段二，学生探究活动不是仅仅回忆具体的剪、拼等操作活动，而是让学生回忆并对在这一过程产生的较高级的思想方法进行概括：转化的思想。片段三是具体操作过程，不仅要求学生能描述、解释自己是怎么做的，还要通过语言表达出来。片段四中的操作活动的结果是产生圆面积公式S=πr2。这三个过程不能仅靠学生自主完成，还需要教师全过程补充，实现学生操作活动的内化。同样，实现操作数学化，仅靠学生自己的努力是不够的，需要经历数学活动的全过程，并且有教师的组织和指导，这样才能帮助学生实现对获得的数学活动经验的系统化，从而获得更丰富的数学活动经验。
（浙江省海宁市实验小学 314400）