极坐标系和椭圆坐标系下薛定谔方程及其解的研究
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【摘要】给出极坐标系和椭圆坐标系下薛定谔方程的表达式后，分别在这两种坐标下对特定的薛定谔方程进行求解，然后利用计算机模拟功能，得出了电子的基态能量和概率密度分布。最后对其结果进行了分析。
【关键词】极坐标；椭圆坐标；薛定谔方程；基态能量；概率密度
1.引言
量子物理在许多近代技术中得到了广泛地应用，并作为大学物理中的重要组成部分被广大学者深入研究[1-2]。薛定谔方程的求解是量子力学中的重要问题，对于复杂的问题可借助计算机软件进行求解。薛定谔方程中的能量算符与矢量微分算符[3]密切相关。
本文讨论的是二维约束的情况，即量子线模型。实际模型是结构，为量子线材料，x为的掺杂比例，本文中取x=0.3，GaN为势垒材料。在量子线的界面上，这两种材料的边界可以是各种形状的，如圆形、椭圆形、三角形、T形[4]等。前人曾对椭圆模型的物理问题进行了研究[5-6]。我们研究了极坐标系和椭圆坐标系下薛定谔方程的表达式及圆形和椭圆形势阱中薛定谔方程的解，得出了电子的基态能量及概率密度的变化规律。
2.圆形势阱中薛定谔方程的解
2.1 直角坐标与极坐标的坐标变换
直角坐标与极坐标之间的关系式为[7]：
（1）
二维直角坐标系下，拉普拉斯的算符为：
（2）
2.2 极坐标系下二维薛定谔方程的解
在InxGa1-xN/GaN圆形截面量子线中，电子满足的薛定谔方程为：
（3）
其中，为电子的有效质量，在InxGa1-xN材料中，x=0.15时，；在GaN材料中，。电子受到的约束势：
其中R0为量子线的半径：
1Ry*=25.581meV，1a0*=28.17
通过求解薛定谔方程（14）可得出电子的基态能量和波函数。
图1为电子在圆形边界约束势下的基态能量，从图中可知，薛定谔方程的本征值随着截面半径的增大而减小，原因是电子受到的势垒约束作用随着量子线截面半径的增大而减弱，电子受到较弱的势垒约束，会导致电子的基态能量（本征值）减小。
3.椭圆形势阱中薛定谔方程的解
3.1 极坐标与椭圆坐标的坐标变换
直角坐标与椭圆坐标之间的关系为[8]：
则：
（4）
（5）
3.2 椭圆坐标系下二维薛定谔方程的解
在InxGa1-xN/GaN圆形截面量子线中，电子满足的薛定谔方程为：
（6）
掺杂情况和电子的有效质量与圆形截面量子线中的取值相同，电子受到的约束势：
1Ry*=25.581meV，1a0*=28.17
通过求解电子满足的薛定谔方程方程式（17），可得出电子的本征值和本征矢。由本征矢可以求出电子的概率密度。电子的基态能量和概率密度分布分别如图2和图3所示。
图2为椭圆形量子线中截面积等于4002时，电子的基态能量随着椭圆截面的半长轴与半短轴之比a/b的变化，在我们选用的坐标系中，椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上，所以y方向的势垒约束大于x方向的势垒约束，由图可知，电子的基态能量随着a/b的增大而增大。这是因为截面积不变时，较大a/b对应着较大的半长轴a和较小的半短轴b，当a/b增大时，x方向的约束在减小，y方向的约束在增大，较大的a/b对应着较大的基态能量是由于y方向的约束起主要作用，图中的曲线呈上升趋势。图3为椭圆的半长轴与半短轴之比a/b=4时，截面积等于4002的椭圆形量子线中电子的概率密度分布。通过数值求解椭圆形边界约束势作用下的二维薛定谔方程，可得出本征矢，然后求出概率密度||2。
4.结束语
本文将理论计算与计算机模拟相结合，不仅计算了极坐标系和椭圆坐标系下二维薛定谔方程的表达式，而且通过计算机模拟功能研究了不同二维约束作用下薛定谔方程的解，并对其规律进行了合理地解释。另外，本文对低维半导体器件的制作提供了理论依据。因此，本文具有一定的理论价值和实际意义。
参考文献
[1]盛嘉茂.关于工科量子物理教学内容的讨论[J].大学物理，2013，32（10）：27-29.
[2]张立彬，涂成厚.中外量子力学教材经典知识点的区别与思考[J].大学物理，2013，32（4）：38-40.
[3]卢端华.矢量微分算符的探讨[J].大学物理，2012，31（6）：7-12.
[4]S.N.Walck，T.L.Reinecke.Exciton binding energy in T-shaped semiconductor quantum wires[J].Phys.Rev.B 56（15）：9235-9238.
[5]贾秀敏.再论共焦椭圆柱形电容器的电场及电容[J].大学物理，2009，28（9）：22-24.
[6]陈梦姣，陈刚，周权，等.椭圆柱下等值坐标带电导体柱的电势与电场的分布[J].大学物理，2012，31（6）：17-20.
[7]老大中.变分法基础[M].北京：国防大学出版社，2007：19-22.
[8]梁昆淼.数学物理方法（第二版）[M].北京：人民教育出版社，1978：511-512.
基金项目：河北省科技计划基金项目（项目编号：12210617）；河北联合大学轻工学院科学研究基金项目（项目编号：qy201205）；国家自然科学基金专项基金项目（项目批准号：11347179）。
作者简介：段秀芝（1982―），女，河北邢台人，硕士研究生，河北联合大学轻工学院讲师，主要从事半导体超晶格物理及大学物理教学领域的研究工作。