李Ω-超代数g关于Ω-理想的几个性质

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【摘 要】 本文将算子群的有关概念推广到李算子超代数，给出了李算子超代数g关于Ω-理想满足降链条件和升链条件下的几个性质。

【关键词】 李算子超代数；Ω-理想；自同态

【Abstract】 this article calculated the subgroup the related concept promotes to the Li operator ultra algebra，produced Li operator ultra algebra g about Omega - ideally to satisfy the descending chain and to rise under the chain condition several nature.

【Keywords】the Li operator ultra algebra -Ωis ideal

【中图分类号】：O150 【文献标识码】：A 【文章编号】：1673-4041(2007)09-0045-02

1有关概念：

定义1、 一个李Ω -超代数的一个 Ω-投射称作理想的幂等 Ω-自同态，若这个 Ω-自同态π：gg满足π=π2，且与g的所有内导子可交换，显然π(g)是g的一个 Ω-理想。

一个李Ω-超代数的一个Ω-投射称作理想的Ω-自同态，若这个Ω-自同态π：gg与g的所有内导子可交换。

设g是F上的一个李Ω-超代数，且有分解g=AB，其中A和B是g的Ω-理想，π是关于这个分解的到A的投射。则π是g的一个理想的幂等Ω-自同态。

事实上，对任意的x=x1+x2，y=y1+y2，x1，y1 A和x2，y2 ∈B，我们有πadX (y ) =[x1，y1]= adxπ (y) 。进而，对ω∈Ω，x∈g，有πω(x)=π[ω(x1)+ω(x2)]=ω(x1)及ω[π(x)]=ω[π(x1+x2)]=ω(x1)。因而πω=πω且π是g的一个Ω -同态。显然π=π2。所以π是g的一个理想的幂等Ω-自同态。

定义2 、一个自同态θ称为幂零的，如果对某个正整数r有θr =0。

2主要结果：

定理1、 设θ是一个李 Ω-超代数g的一个理想的Ω-自同态，且g关于Ω-理想满足降链条件和升链条件。则存在一个正整数r使得Imθ r=Imθ r+1=…，及Kerθr=Kerθr+1=…，且有g= ImθrθKerθr.

证明：因为θ是一个理想的Ω-自同态，显然θi也是一个理想的Ω-自同态并且Imθi是g的一个Ω-子代数.则对χ∈g有adxθi=θiadX。所以对y∈g有ad xθi (y )=θiadX (y )，即，[x，θi (y)]=θi[adX (y)] ∈θi (g ) 。因此Imθi是g的一个Ω-理想。同理，Kerθi也是g的一个θ-理想。显然有KerθKerθ2 …及ImθImθ2 …，因此存在一个正整数r使得Kerθr = Kerθr+1=…= m及Imθr = Imθr+1= … = n。设x ∈g则θr(x) ∈Imθr =Imθ2r，于是存在某个 y∈g使得θr(x)=θ2r (y ) 。因此x-θr(y )∈m于是x∈m+n.这表明g=m+n.若x∈m∪n，则x=θr(y ) 其中y∈g。所以0=θr(x)= θ2r(y )，这样就有y∈Kerθ2r= Kerθr，于是x=θr(y )=0。故g=mn。

定理2、 若g是一个不可分解的李Ω-超代数，且关于Ω-理想满足降链条件和升链条件，g的一个理想的Ω-自同态或者是幂零的或者是一个自同构。

证明：设θ是g的一个理想的Ω-自同态，由定理1，存在一个r>0使得g=ImθrKerθr。但是g是Ω-不可分解的，所以或者Imθr=0于是θr=0；或者Imθr=g并且Kerθr=0；在后一种情况中θ是一个自同构。

定理3 、若g是一个不可分解的李Ω-超代数，且关于Ω-理想满足降链条件和升链条件.假设θ1，…，θk是g的理想的Ω-自同态，若θ1+…+θk是一个自同构，则至少有一个θi是自同构。

证明：用数学归纳法。我们假设k=2并且α=θ1+θ2是一个自同构。设ψi=α-1θi，于是 ψ1+ψ2= id。因为θ1和θ2都是理想的，所以α也是；因此ψ1和ψ2都是理想的Ω-自同态.假设θ1与θ2都不是自同构；则ψ1与ψ2也都不是自同构。由定理2知ψ1与ψ2都是幂零的，所以存在某个r>0使得ψ1r=0=ψ2r。而ψ1=id-ψ2，所以ψ1ψ2=2ψ1。因此由二项式定理有id= (ψ1+ψ2)2r-1=∑2r-1i=0Ci2r-1 ψj1ψ2r-i-12。因为i≥r与2r-i-1≥r两者之一必有一个成立。我们得到对所有的i有ψ1iψ22r-i-1= 0.因此id=0，这意味着g={0}，于是θ1= id=θ2，得出矛盾。

参考文献

1 Derek.J.S.Robinson，A course in the theory of groups，Springer-Verlag New York Inc.，1982.

2 Wang Yanming，Finite groups admitting a p-solvable optator groups，Journal of Algebra 207(1998)，no.2，478-490.

3 Baer Reinhold，Automorphism ring of primary Abeilian operator groups，Ann.of Math(2)44，(1943)192-227.

收稿日期：20074-09-26

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”