隐马尔可夫模型在客户关系动态研究中的应用

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[摘要] 客户关系管理（CRM）已经成为市场营销研究领域中的一个重要方面，其研究的方向大致有两个：一是以客户价值为核心的客户关系管理的应用研究；二是以客户行为为基础的客户关系动态研究。后者的研究更加抽象和一般化，其采用的主要工具是马尔可夫过程。但客户关系状态的不可观测性却不能够在单纯的马尔可夫过程得到解决，隐马尔可夫模型把马尔可夫过程和离散选择模型结合起来，用可以观测的客户购买行为来反向推断隐含的客户关系状态，从而推动了客户关系动态研究的进展。本文介绍了隐马尔可夫模型拟合客户动态关系的原理，并且用R语言对这一拟合过程进行了蒙特卡罗实验。

[关键词] 隐马尔可夫模型客户动态关系R语言蒙特卡罗实验

企业在实施客户关系管理的过程中，需要通过分析交易数据来研究客户关系的动态过程，评估客户关系以及为市场营销决策提供支持。隐马尔可夫模型的引入将促使这些工作变得更加精细和准确。

一、管理导向的客户关系研究

从管理应用的角度，客户关系的重点是客户资产和客户终身价值。客户资产的概念是由Robert C. Blattberg和John Deighton提出的，它是指以企业市场营销投资的目标收益率为折现率，对所有客户的终身价值折现后得到的总净现值。他们认为已经从产品销售导向转移到客户导向的市场营销，既要考虑如何争取新客户更要同时注重如何留住老客户。于是，在市场营销预算中，一个企业应当以客户资产最大化为尺度来平衡在争取新客户和留住老客户之间的资源配置(Blattberg和John Deighton 1996)。然而，由于潜在目标客户资料的难以获得性，企业在实施客户资产管理时通常只对既有客户进行研究，即假设获取新客户与保留老客户是两个相互独立的过程，获取新客户的过程不会对保留老客户的过程产生影响。同时考虑了审查和数据截断的选择性Tobit模型能够更好的描述真实的客户资料特征，从而弥补上述假设的不足。该模型研究的结果表明，传统的只基于现有客户的客户资产管理忽视了获取新客户和保留老客户之间的相关性，会导致错误推断客户关系周期和客户贡献率，从而误解市场营销活动对客户关系周期的影响（Thomas 2001）。企业的长远价值很大程度上取决于公司的客户关系的价值（罗兰・T・拉斯特、弗莱丽・A・齐森尔和凯瑟琳・N・勒门 2001），把客户当作一种资产是企业界广泛实施客户关系管理的主要驱动因素。

二、行为导向的客户关系研究

从客户行为研究的角度出发，关系营销的研究者们最感兴趣的是如何认识关系的动态过程与关系的行为或者情感维度之间的联系和相互作用。一般来讲，描述客户关系的理论模型都把客户与品牌的关系分为如下四个阶段：开始、发展、维持和衰退。某个时刻的客户关系就可以被认为是客户和品牌之间由于关系接触而在该时刻随机产生的某一离散的忠诚状态，而动态的客户关系就可以相应的看作离散状态空间的随机过程。通常，我们采用一阶马尔可夫链来描述这一随机过程。于是，客户在不同状态之间的转移概率就可以看作关系接触或者客户和品牌之间的相互作用的函数。客户关系的马尔可夫模型最大的优点是其具有很强的灵活性，它能够处理包括客户变迁和客户保留在内的几乎所有的客户关系情景，从而对既有客户和潜在客户的终身价值进行计算（Pfeifer和Carraway 2000）。

然而，在采用马尔可夫链研究客户动态关系时存在着一个主要的障碍，即客户关系所处的离散状态是不能够观测的。基于此，我们需要引入隐马尔可夫模型。在经济学研究方法中，我们一般采用离散选择模型来描述和计算客户购买行为发生的概率，于是客户关系动态研究中的隐马尔可夫模型就是结合了离散选择模型和马尔可夫链来识别和推断客户关系状态的一类动态综合模型。

三、隐马尔可夫模型对动态客户关系的模拟

1.隐马尔可夫模型拟合客户动态关系的原理

隐马尔可夫模型（HMM）是一个不能够被直接观测的马尔可夫过程，它由三个部分构成。（1）初始状态分布;（2）随机游走转移矩阵;（3）基于客户关系状态的客户选择概率。图1为隐马尔可夫模型的示意图，其中{Xt,t=1,2,3…}用于描述具有马尔可夫性的状态未知的动态客户关系过程，｛Yt,t=1,2,3…｝表示基于客户关系状态的客户选择行为。于是，隐马尔可夫模型的一次观测发生的概率，即某一客户在相应时段出现一系列选择行为的概率，就可以如下表示。

其中Xit表示客户在状态数为NS的马尔可夫过程中在t时刻处于状态i。 Yit表示客户在时刻t的第i个选择。

关系营销和服务营销的相关文献表明当客户与品牌之间由于接触而产生的转移倾向超过一定阈值时，就会引起客户关系状态的转移。图2对这一机理进行了具体的描述。

在上图中，我们定义Ths为客户关系向相邻的较高忠诚度的状态发生转移的阈值，Tls为客户关系向相邻的较低忠诚度的状态发生转移的阈值。并且用TRits表示第i个客户处于时间t和状态s时的转移倾向。类似于随机效用方程，我们可以把TRits表示成,

TRits=αsCit+εits

其中，Cit表示从t-1时刻到t时刻影响第i个客户的市场营销工具向量。 αs是市场营销工具向量对处于状态s的转移倾向的影响。

根据MacFadden推导离散选择模型的思路，我们把客户i的关系状态s在下一时刻的三种转移方式，即转移至较高忠诚状态的s+1，转移至较低忠诚状态的s-1，或者停留在状态s，采用Ordered Logit模型来加以刻画。

其中，

最后，我们采用可以观测的客户以往的购买行为来间接推断客户关系的状态。不失一般性的，我们假设客户的购买行为是一个二元的离散选择过程。

2.隐马尔可夫模型的蒙特卡罗实验

下面，我们利用R语言（Version 2.3.0）中的hmm.discnp统计软件包来演示动态客户关系研究中的隐马尔可夫模型的计算。首先我们对隐马尔可夫模型的状态个数、转移矩阵以及状态依赖的购买概率进行初始设定（见表1）。然后根据这些初始设定，调用函数sim.hmm()模拟1000个由数字1和2构成的代表某一典型客户购买行为的随机序列，其中2表示购买而1表示没有购买。

其次，我们调用函数hmm()对某一客户购买行为数据进行计算，计算结果见表2。

实验结果表明R语言中的hmm.discnp统计软件包能够准确的计算客户购买行为数据背后隐藏的客户关系状态的转移矩阵和状态依赖的购买概率，于是可以用来拟合客户关系状态的动态变化。

四、小结

隐马尔可夫模型把离散选择模型和马尔可夫过程巧妙的结合起来，通过可以观测的客户购买行为来推测隐含的客户关系的变化，这一切都将有助于解释和预测客户关系的动态变迁以及评判市场营销活动对客户关系的影响。