圆与圆的位置关系

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一、教材结构与内容简析

本节内容在全书及章节的地位：《圆与圆的位置关系》是人教版高中数学新教材必修2第4章第2节的第2个知识点。在此之前，学生已学习了圆的方程，直线与圆的位置关系。圆与圆的位置关系是和圆有关的位置关系中的一个重要内容，也是学生学习了点与圆、直线与圆之后一个比较难掌握的内容。因为学生初中已学习过这些关系，故教材直接给出思考：圆与圆有几种位置关系？然后通过实例，进行分析，如何判断圆与圆的位置关系；教材中提到了两种方法，代数与几何的判断方法，学生需要自己去总结归纳。最后，让学生能够运用进行解决问题；同时让学生总结不同位置关系时不同的数量关系，从数与形的量方面去加以认识，在对比和类比中加深对不同位置关系的认识和理解。

二、教学目标

知识与技能：理解圆与圆的五种位置关系；熟练掌握用数量关系来识别两圆的位置关系，能选择恰当的方法判断两圆的位置关系。

能力和方法：使学生体会用代数法和几何法的思想及数学化归思想,渗透“数形结合”的思想，提高学生同数学思想方法解决问题的意识。

情感和价值：认识事物之间在一定条件下的转化,用联系的观点看问题。

三、教学重点、难点、关键

重点：判断圆与圆的位置关系;难点：通过方程来研究位置关系和求交点坐标;关键：选择恰当的解决问题的方法

四、教学程序及设想

1.回顾直线与圆的位置关系

师：直线与圆有哪些位置关系？生：思考回答。

师：如何判断直线与圆位置关系？生：代数法（联立方程，利用来判断交点个数）；几何法（利用圆心到直线的距离来判断）

意图:巩固学生对直线与圆的位置关系的理解,并为本节课的解决方法留下参考的模板。

2.提出新问题

师：圆与圆的位置关系有哪几种？如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？（板书课题）生：思考回答。

师：用什么方法判断？生：几何方法：设两圆的圆心距，半径，则：

①当时，圆与圆相离；

②当时，圆与圆外切；

③当时，圆与圆相交；

④当时，圆与圆内切；

⑤当时，圆与圆内含；

师：（板书以上的内容）非常好。我再叫位同学来把步骤总结一下。

生：步骤：①计算两圆半径；②计算两圆圆心距；③根据与的关系判断两圆的位置关系.

师：（板书步骤）

意图:引出课题，并让学生自己分析总结,提出解决问题的方法,解决问题的步骤，让学生有自己的思维过程。

3.特例练习

师：判断下列和的位置关系？

生：思考回答。分别为相交，内切，相交。

意图:这个练习还是比较简单的,学生应该都能完成,而且解决问题的方法就是几何法,考验学生的是对五种位置关系的数量关系的理解和计算能力。

4.代数方法

师：圆与圆的位置关系能否用代数方法来判断呢？

生：积极思考。

师：我们拿第（3）小题来研究一下。

解：联立方程，

作差得：

将代入

得；；

所以和有两个不同的交点，故和相交。

师：我们来小结一下这个代数方法？

第一步：联立方程：；

第二步：作差，再代入其中一个圆的方程，得；

第三步：比较与0的关系。

师：比较两种方法的优劣？

生：几何法直观，但不能求出交点坐标；代数法能求出交点坐标，但不能确切确定位置关系。

意图:继续对第（3）小题进行研究，加深对提目的理解，并强化一题多解的思想；同时，与上一节的内容进行呼应，一样有几何和代数的方法，让学生对整个体系有完整的认识。

5. 例题讲解

师：下面我们来看一个例题。

例1.已知圆，

当m为何值时：

（1）两圆外离；（2）两圆外切；（3）两圆相交；

（4）两圆内切；（5）两圆内含。

生：思考计算。

师：叫学生上台板演。

意图: 这个题目需要分类讨论，所以有点难度；同时，学生有两种方法可供选择，但基本上都会选择几何法来解题，因为计算比较简单。

6.小结

圆与圆的位置关系，判断圆与圆的位置关系的方法。

意图: 知识性内容的小结，可把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。