以平移为媒,解二次函数问题

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把一个图形上的各点按同一方向移动同一距离的变换称为平移变换，平移变换是初中数学重要的思想和方法.我们知道平移变换不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置.因此利用平移变换的这一特征，在解决有关二次函数问题时，可以有效整合图形（题设）信息，优化图形结构，使得较为复杂的问题得以创造性地解决.下面就采撷几例介绍这类问题的解法.

1平移法解选择题

图1例1（2010台州）如图1，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x-m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为（）

A.-3B.1C.5D.8

分析抛物线y=a（x-m）2+n的顶点在线段AB上运动时，由于该抛物线的形状大小和开口方向都没有发生变化，D点运动的轨迹可以看作是将点D沿x轴平移AB个单位长度.

解析C、D两点是抛物线与x轴的交点，当取得C的横坐标最小值为-3时，抛物线的顶点在A处，对称轴为直线x=1，由对称性可知，此时D点坐标为（5，0）.当抛物线的顶点平移到B处时，可以取得D的横坐标最大值，由平移的性质知，D点平移的距离为线段AB的长度，即将点D（5，0）沿x轴向右平移3个单位得D点坐标为（8，0），故选D.

点评本题着重考察了观察和动手操作能力，通过观察和操作可发现，当抛物线的顶点在线段AB上运动，其实质就是整个抛物线在线段AB方向上进行了平移，再根据平移前后的线段平行且相等来解决问题.

2平移法解填空题

例2（2013荆门）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n=.

分析此题常规解法如下：依题意，得

m2+bm+c=n.①

（m+6）2+b（m+6）+c=n.②

②-①，得12m+36+6b=0.即b=-2（m+3）.因为抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，所以b2-4c=0.即c=b214.所以n=m2+bm+c=m2-2（m+3）m+114×4（m+3）2=9.

通过观察题设中抛物线所过A、B两点横纵坐标我们发现，A、B两点为抛物线上一对对称点且A、B两点间的距离为定值6.因为此抛物线与x轴只有一个交点，所以将抛物线的顶点沿x轴平移，n的值不会发生变化，且AB两点到对称轴的距离都始终为3.因此可将抛物线的顶点平移到原点处.

解析因为抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，所以原抛物线的顶点在x轴上.将原抛物线的顶点平移至原点，则所得抛物线的解析式为y=x2，且它经过点A′（-3，n），B′（3，n）.当x=±3时，n=（±3）2=9.

点评本题用常规方法解答较为繁琐，我们解题时可以另辟蹊径，通过对抛物线进行适当的平移，从而优化问题结构，使问题简洁获解.

例3（2012泰安）二次函数y=ax2+bx的图象如图2，若一元二次方程y=ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为.

图2分析要求一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根时m的最大值，我们可以看作是二次函数y=ax2+bx+m与x轴有交点时m的最大值.

解析y=ax2+bx+m图象是由y=ax2+bx图象沿y轴向上（向下）平移m个单位长度得到的.因为二次函数y=ax2+bx顶点的纵坐标为-3，所以平移后使得二次函数y=ax2+bx+m与x轴有交点最大长度为3，即m≤3，故m的最大值为3.

评析另解：因为一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，所以b2-4am≥0，由y=ax2+bx的图象可得顶点纵坐标为-3，即0-b214a=-3，b2=12a，所以12a-4am≥0，由a>0，解得m≤3.这道题目我们可以用图像法解，也可以用代数法解，从而诠释二次函数和平移等数学知识中“数”和“形”的统一.

3平移法解实际问题

例4如图3，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起.据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.

图3（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式.

（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取43=7）

（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取26=5）

分析由于足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半，所以弹起后的抛物线可以看成是将第一个抛物线先向左平移若干个单位后，再向下平移两个单位.那么如图3，足球第二次弹起的距离CD就为EF平移所得.

解析（1）y=-1112（x-6）2+4.（2）略.

（3）如图3，第二次足球弹出后的距离为CD，根据题意：CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），所以2=-1112（x-6）2+4解得x1=6-26，x2=6+26.所以CD=x1-x2=46≈10.所以BD=13-6+10=17（米）.

答：他应再向前跑17米.

点评本题是以足球运动为背景的二次函数问题，却隐含了平移的知识，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，而最大高度减少为原来的一半.结合图形即可知，抛物线EMF与抛物线CND形状和大小完全相同.抛物线CND可以理解为由抛物线EMF经平移得到，从而创造性地解决了求CD长度的问题，避免了再次求抛物线的过程.

4平移法解综合题

例5（2013佛山）如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；

（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图5中阴影部分）.

图4图5分析（3）“把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上”可根据平移前后的顶点坐标求出向上平移的距离，再根据平移的性质可知阴影部分的面积就等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解.

解（1）y=x2-4x+3；

（2）因为y=x2-4x+3=（x-2）2-1，所以抛物线的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线x=2；

（3）如图4，因为抛物线的顶点坐标为（2，-1），所以PP′=1，阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，所以阴影部分的面积为2.

点评本题重点考察了二次函数图象的几何变换，根据平移的性质，把不规则的图形面积（阴影部分的面积）转化为平行四边形的面积是解题的关键.

作者简介王国兵，男，1981年11月生，江台人，荣获东台市优质课竞赛一等奖，东台市首届毕业班数学老师解题竞赛一等奖，2011年起，多篇.