数列问题的解题策略

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数列是高考的必考内容，在中学教材中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点。等差数列与等比数列是最重要也是最基本的数列模型，主要考查利用方程思想求解a1，d，q，Sn，n，an等一些基本元素，利用等差（比）数列的性质进行推理运算。而数列的通项是一切数列问题的核心，是数列定义在数与式上的完美体现，是解决数列综合问题的突破口，近年来根据数列的递推公式求解其通项公式的问题在高考中也频频出现。当然，数列主观题的考查还常与函数、不等式、三角、解析几何等知识相结合，注重问题的综合性与新颖性。

一、 考纲要求

数列内容主要考点包括三个方面：一是数列的概念；二是等差数列；三是等比数列。其中数列的概念为A级要求，等差数列和等比数列均为C级要求。根据考纲要求，数列单元的复习中，要注意以等差数列和等比数列这两个重要的数列模型为主线，以数列的通项与求和这两个基本问题为抓手，突出基础，注重方法，强化综合，努力提高阅读理解能力、形式运算能力、推理论证能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。

二、 难点疑点

难点1 从数列的通项公式an=f（n）（n∈N*）的形式，明确函数与数列的联系与区别，掌握利用函数知识研究数列问题的思路和方法是数列学习的难点之一；

难点2 数列是研究与正整数有关的计算和推理问题，解决数列问题时，要特别注意定义域是正整数这一关键，在此基础上所研究的数列的最值，单调性以及与不等式恒成立相关的问题是数列学习的难点之二；

难点3 由数列的递推关系求解数列的通项公式的常用方法是构造法，即通过式子的灵活变形构造等差数列或等比数列，继而求解通项公式，如何正确合理地构造是数列学习的难点之三。

疑点1 已知数列的前n项和求an时，易忽视n=1的情况，直接用Sn-Sn-1表示an，解题时应注意an，Sn的关系是分段的，即an=S1，n=1

Sn-Sn-1，n≥2；

疑点2 数列的前3项与数列是等差（比）数列的关系是数列学习的又一个疑点。已知一个数列的前3项成等差（比）数列，不足以说明数列是等差（比）数列，必须根据定义证明；若一个等差（比）数列给出含参数的通项公式或求和公式时，可以通过前3项成等差（比）确定参数；而要判断一个数列不是等差（比）数列，只需说明数列的前3项不成等差（比）即可，正所谓“成事不足败事有余”；

疑点3 研究数列时通常渗透几种思想，即特殊到一般的归纳思想，两类重要数列解题时的类比思想，由数列的递推公式求解通项公式时的化归与转化思想，解题时要合理运用。

三、 经典练习回顾

1. 已知数列{an}中，前n项和Sn=n2+2n，则通项公式an= .

2. 若等比数列{an}满足a2a4=12，则a1a23a5= .

3. 设公比为q（q>0）的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q= .

4. 已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap+aq=ap+q，若a2=4，则a100= .

5. 已知数列{an}满足递推关系式an+1=2an+2n-1（n∈N*），且an+λ2n为等差数列，则λ= .

6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是.

综上所述，存在λ=-1，使得对任意n∈N*，都有cn+1>cn成立.

点拨 对于给出数列的递推公式求通项公式的问题，往往要构造新数列，并能证明其是等差数列或等比数列，进而求原数列的通项公式。遇到Sn要注意利用Sn与an的关系将其转化为an，再研究其具体性质。遇到（-1）n型的问题要注意分n为奇数与偶数两种情况进行讨论，本题的易错点就是忘掉对n奇偶性的讨论而致误。