非线性Compertzlan灰色模型的解法及其应用

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[摘要] 本文在现有文献的基础上，应用GM(1,1)模型给出一种新的非线性灰色模型――Gompertzlan模型及其解法。最后将该方法用于某公司的实际销售额预测中，通过例子可以看出，这种新的方法具有很高的精度。

[关键词] 销售额Gompertz曲线非线性灰色模型预测精度

一、引言

龚帕兹曲线是由英国统计学家和数学家B.Gompertz首先提出的一种数学模型。它是一条S形生长曲线，它反映了某些经济变量由开始增长缓慢,随后增长加快，到达一定程度后，增长率再逐渐减慢，最终达到饱和状态的过程。经济学家发现，大型项目的资金投入以及耐用消费品的市场发育等过程都与生长曲线类似。其数学表达式为:

式中k，a，b为待定参数，且0＜a＜1，0＜b＜1;t为时间。当t∞时，bt0，yk，k为龚帕兹曲线的极限值。本文给出一种新的非线性灰色模型――Gompertzlan模型及其解法，最后将该方法用于某公司的实际销售额预测中，通过例子可以看出，这种新方法比龚帕兹曲线具有更高的预测精度。

二、非线性灰色模型及其解法

由实际的例子可以看出尽管原始数据呈指数变化(由散点图可知)，但是应用传统预测模型的误差是相对大的。这是因为，虽然原始数据列呈指数变化，但不是光滑离散函数，所以对于非光滑离散函数建立灰色模型之前，必须对原始数据列进行某种变换，以此来提高数据的光滑程度。所以说灰色预测模型的预测精度主要取决于原始数据列的光滑离散性。因此，拓宽灰色预测的应用范围，提高预测精度的关键在于增加数据列的光滑性。文献做了有益的尝试，收到了较好的效果。

定理:若{x(k)}为递增数列，且x(1)≥e，则

基于这个定理，有以下的结论:

式为GM(1,1)模型,α和β为待定参数,其解为y(t+1)=α/β+(y)(0)-α/βe-βt。

令则(2)式转化为:

称上式为Gompertzlan灰色模型。

由(2)式的解可知(3)式的解为:

对于(3)式有如下的解法:

①设原始数列为:

②累加生成数列构成矩阵B:

其中z(j),y(j)为灰色模型的背景值，j=2,3…n，具体取法为:

其中α∈(0,1)。令原始数列构成数据列矩阵:Yn=(x(0)(2),x(0)(3),…,x(0）(n))T。

③利用最小二乘法求得参数α和β:

④将参数α和β代入(4)式，即得(3)式的时间响应函数。

注:由(2)式可知，求解compertzlan灰色模型中的参数还可以像求解GM(1,1)模型的参数那样,得到时间响应函数为：

三、应用实例及其预测精度比较

某公司1996到2003年实际销售额资料如表1所示。

根据表1中的数据,利用上述的参数求解法,得到预测模型为:

p(t+1)=exp(84.2648e0.02339t-82.4387) (8)

按(8)式进行预测，得到的预测结果及误差见表2。

根据表1中的数据,按文献中的参数

估计方法,得拟合模型为：

p(t+1)=10.7275×0.48520.7782t按(9)式进行预测，得到的预测结果及误差见表3。

由表2、表3可以看出，本文提出的Gompertzlan模型在公司销售额预测中,比Gompertz曲线预测法具有更高的精度。

四、结束语

销售额预测是上市公司正常运行和发展公司规模中一项非常重要的工作，随着市场的发展，必将对产品销售情况提出更高的要求。本文提出了一种新的非线性Gompertzlan模型，对某公司的销售额逐年进行预测。预测结果表明，这种方法比Gompertz曲线预测法具有更高的预测精度。这一预测精度完全能够满足生产和管理部门的需要，是理想的预测方法。

参考文献:

[1]陈涛捷:灰色预测模型的一种拓广[J].系统工程,1990,8(7)

[2]孙文生杨氵内华:经济预测方法[M].中国农业大学出版社,2005

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