用数学的眼光看问题
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解题“牛人”许志锋,男,中学高级教师,台州市“教学能手”,拥有20余年高三教学经验,参加过教育部国家级骨干教师培训并被授予合格证书。
爱好:解数学题。曾多次参加全国数学问题有奖征答活动并获奖。
在前八期刊物中我们分专题探讨了如何化解函数、数列、不等式、立体几何、解析几何以及概率等内容中的所谓“难题”. 然而,在我们身边总有一些解题“高手”,无论面对代数题还是几何题,无论题目设计多么新颖,也无论条件怎样抽象繁杂,他们总能作出漂亮的解答.这说明善于解题的人除了具备必要的知识以外,必定还领悟了数学所特有的思考方法.
在这一期中,我们精心挑选了一个例题,并请不同的同学来解答,给出各自的解题思路.一来是检验同学们前八期“挑战”的成效,二来通过对比各人的思维过程并予以点评,从中说明什么才是数学的眼光和数学的思考方法,希望对提高大家的数学能力有所帮助.
例(2009年高考数学山东卷(文)第22题)如图1所示,设直线l与圆x2+y2=R2 (1
我们来看看四位同学各自的对策.
甲: 这个图形倒是很漂亮,切线刚好“贴着”圆和椭圆,至于AB的最大值嘛,这个怎么看得出来呢?又没有现成的公式可以用来计算……
点评: 甲缺乏解析几何的思想,跟没有学过数学的人“看到”的图形差不多!
乙: 这是直线与曲线的位置关系问题,应当这样来求解:① 设直线方程l:y=kx+b;② 利用圆心O到直线l的距离等于半径R建立起k,b,R之间的一个关系式;③ 将直线方程代入椭圆方程,利用Δ=0建立另一个关系式;④ 联立求解刚才的两个关系式,使得k,b均用R来表示,则直线方程可用R来表示;⑤ 分别联立直线与圆、直线与椭圆的方程,求出切点A,B的坐标(都用R表示);⑥ 用两点间距离公式将AB表示为R的函数:AB=f(R);⑦ 在1
点评: 乙已经具备了解析几何的基本思想,知道要设直线方程,也知道图形中的位置关系意味着量与量之间存在着特定的关系,这是初步运用数学眼光所“看到”的. 像这样将位置关系“翻译”成数量关系,就可以转入计算,通过解方程把最后要用到的点的坐标都用R来表示,乙的思路应该也是大部分同学的解题思路. 但是一旦开始计算,你就会发现,解方程、应用距离公式等过程都相当烦琐,一不留神就会出错!
丙: (一开始也是像乙那样设想,但经过脑海中的“预演”否定了这种方案,开始考虑能否回避复杂计算)
“直线与圆相切”除了意味着两者“有且只有一个公共点”外,还有一个众所周知的性质,就是如图2所示的OAAB. 连接OB,可得到RtOAB,则AB2 =OB2-R2. 故要求解AB,不需要求出点A的坐标,只要求出OB2就可以了!
设切线l:y=kx+b,点B(m,n). 由直线与圆相切可得=R,即b2=R2(1+k2) (①). 将y=kx+b代入+y2=1,整理得(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0 (②); 直线与椭圆相切, Δ=64k2b2-4(1+4k2)(4b2-4)=0,化简可得b2=1+4k2 (③). 直线与椭圆切于点B(m,n), m为方程②的两个相等实根,由韦达定理可得m2= (④). 联立①③可得k2=,b2=,将其代入④式得m2 =; B(m,n)在椭圆上, +n2=1, n2=1-=; AB2=OB2-R2=m2+n2-R2=5-R2+. 由均值不等式可知,当且仅当R2=,即R=时,(AB2)max=5-2=5-4=1,故R=时AB取到最大值1.
点评: 丙在发现利用原思路解题很困难的情况下,敢于尝试从另一角度看问题.他所“看到”的圆的切线并不是孤零零的切线,还有图形中“隐藏”着的一条半径!RtOAB的建立使得不需要计算点A的坐标就可得出AB的值,运算量一下子减少了!
丁: 基本认同丙的方案,但认为不需要设切线,只要设B(m,n)就够了,因为直线与椭圆相切于B(m,n)就意味着切线方程可写成+ny=1. 再根据直线和圆相切可得=R,结合+n2=1,立刻得到m2=,n2=. (后面的解法与丙相同)
点评: 丁所运用的“过椭圆+=1上一点(x0,y0)的切线方程为+=1”是一个经典的结论(这个结论在课后习题和参考书中都有出现,可以直接运用),它简洁准确地表达了“直线与椭圆切于点B”这个条件,避免了很大一部分计算,进一步缩短了解题进程,值得称道.
【小结】 (1) 观察图1,R的变化引起了公切线l及两个切点A,B的运动,长度AB也就随之变化. 特别是当R趋向1或2时,两切点趋于重合(见图3、图4),AB0,因此AB必定经历了“0最大值0”的变化过程,这也正是命题老师要求我们求最大值的依据. 类似的问题,比如求弦长的最值等,同学们平时一定见过不少,为什么求解这道题时会感到困难呢?因为常见的弦长问题一般只涉及一条直线与一条曲线相交产生的弦,有现成公式可套用;而这道题却是求一条直线分别与两条不同的曲线相切时的公切线的长,这就是难点之所在.
(2) 为了突破上述难点,丙、丁两位同学考虑能否不计算每个点的坐标而间接得到AB. 他们发现把AB单纯看做圆的切线对解题更有利,因为“圆的切线垂直于过切点的半径”. 这一性质的应用使得AB处在了一个直角三角形之中,从而可以通过计算三角形的另外两边来间接计算AB. 而丁比丙更进一步,他还认识到椭圆的切线可以直接用切点坐标来表示,事实证明这一结论的运用对于解题起到了事半功倍的效果.
(3) 甲、乙、丙、丁四位同学对题目信息的观察和认识不同,导致解题的效果相去甚远.有只看表象的,有“老老实实”根据题意“说一不二”的,也有敢于变通、能够变换角度审视问题的. 丙、丁两位同学看到的图形与甲、乙并没有什么不同,只是他们能够带着思考去观察,看的是题目中有哪些数量关系和位置关系可供挖掘和利用,看出“此形即彼形”或“此形即彼数”,这正是我们所说的“数学的眼光”。
数学中每一种关系均有精确的定义,也往往有许多等价表示. 例如平行四边形ABCD,它可以用“AB∥CD,BC∥AD”来表示,也可以由“两条对角线互相平分”来判定. 在平面向量中,若=,则同样可说明ABCD为平行四边形……善于解题,就是要善于变通,这一点在前几期的“挑战”中已反复得到过印证. 转换审题的角度,当“直译”无法解决时就“意译”,寻求各种信息的“默契配合”,才能形成有效的解题思路.