一道高考题的几种解法

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇一道高考题的几种解法范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

用圆锥曲线定义求解是历年高考的热点,圆锥曲线问题,若计算不当,废时得不出答案,利用双曲线的定义和性质,可以达到意想不到的效果。在高中数学教学中,利用一题多解培养学生的扩散思维能力,从而适应新形势下的高考要求。

(2009全国Ⅱ第11题)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于A、B两点,若AF=4FB,则C的离心率为()

A. 65

B. 75

C. 58

D. 95

解法一:(利用双曲线第一定义)(如图一)

由AF=4FB知直线与双曲线C的右支交于A、B两点,从已知得点A在x轴的上方,设左焦点为N,可设FB=x(x>0),则有BN=2a+x,AF=4x,AN=2a+4x,又∠AFx=60°,利用余弦定理得,在ANF中有

AN2=AF2+NF2-2AF•NFcos120°

在ANF中有

BN2=BF2+NF2-2BF•NFcos60°

即有(2a+4x)2=(2c)2+(4x)2-2•2c•4xcos120°……(1)(2a+x)2=(2c)2+x2-2•2c•xcos60°……………(2)

a2+4ax=c2+2cx……(3)2a2+2ax=2c2-cx……(4),由(3)×2-(4)得6ax=5cx(x>0),e=ca=65

评注:在圆锥曲线问题中,常用余弦定理解决有关焦点三角形问题。

解法二:(利用双曲线第二定义与几何性质)(如图二)

由AF=4FB,知点F在线段AB上,如图,过A作准线l的垂线AA′,过B作准线l的垂线BB′,则AA′=AFe,BB′=BFe,过B作BHAA′,

则AH=AA′-BB′=1e(AF-BF)=3BFe,又∠FBH=30°,AH=52BF,

3BFe=52BF,e=65

解法三:(利用双曲线第二定义与定比分点)(如图三)

由法一知直线与双曲线C的右支交于两点,A在x轴的上方,设A(x1,y1),B(x2,y2),F(c,0)

则|AF|=ca(x1-a2c)

|BF|=ca(x2-a2c)

|AF|=4|BF|

解得x1=4x2-3a2c……(1)

AF=4FB由定比分点得c=x1+4x21+4,

x1=-4x2+5c……(2)

由(1)、(2)得x1=5c2-3a22c,点A(x1,y1)在直线y=3(x-c)上

y1=3(3c2-3a22c),又点A(x1,y1)在双曲线x2a2-y2b2=1上。

则(5c2-3a22c)2a2-[3(3c2-3a22c)]2b2=1,解得25c4-61a2c2+36a2=0

25e4-61e2+36=0得e=65

解法四:(利用双曲线的几何性质)(如图三)

过点A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为D、H,设|FB|=m(m>0),又∠AFx=60°,则A(c+2m,23m),B(c-12m,-32m),点A、B在双曲线x2a2-y2b2=1上,则有

(c-12m)2a2-(32m)2b2=1……(1)

(c+2m)2a2-(23m)2b2=1……(2)

由(1)×16-(2)得m=3b24c代入(2)得25c4-61a2c2+36a4=0,25e4-61e2+36=0,解得e=65

评注:利用双曲线的几何性质,求出双曲线上两点的坐标,代入双曲线得出关于a,c的方程即可。

图一

图二

图三

(欧孔智 贵州省黎平县第一民族中学 557300)