建模思想在初中数学教学中的有效渗透

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[摘 要] 初中数学的学习是小学数学的提升和应用，更注重学生对实际数学问题的分析和解决，而数学建模思想的渗透和应用则能有效地帮助学生解决实际问题，所以数学建模思想的应用成为我们教学中不得不深入思考和实践的重点.

[关键词] 有效；情境；智慧；启发；建模

所谓数学建模思想，可以简单地认为是对实际问题经过深入思考和分析后，把实际问题抽象成一个个数学问题，并找到相应的数学知识与方法得以有效解决. 而在我们的实际初中数学教学过程中，如何渗透数学建模思想，让每一个数学问题建立在实际问题的基础之上，帮助学生在原有知识与技能的基础上拓展新的知识与技能，从而解决实际的数学问题呢？在解决的过程中，我们可让学生在思维过程中产生解决问题的思维模型，即问题对应知识，知识对应应用，应用渗透思想，思想提升能力. 因而，作为初中数学教师，我们应做到以下几点，以真正渗透数学建模思想，真正提升学生应用数学知识解决实际问题的能力，最终转变成学生的固有数学素养.

■ 有效的情境创设

无论是哪一版的数学教材设置，都在竭尽全力地为学生创设符合学生实际生活经验和数学知识储备的情境，在情境中引发问题的源头，从而帮助学生建构新的知识认知系统，形成新的数学技能，并解决课堂初所创设的实际问题，而实际问题的解决过程就是让学生不断积累数学建模思想. 那么，这个实际问题的创设能否真正引发学生思考，能否引发学生的思维兴趣，就成为关键所在. 因此，有效的情境创设是数学建模思想不断渗透和形成的前提. 比如用函数来表示实际问题中数量之间的关系，并在函数规律的探索中获知实际问题中的本质规律，这就是初中数学学习过程中一个重要的建模思想. 在我们的数学学习过程中，我们少不了见到这类问题：“小明在A处放牛，他每天先牵牛到河边l喝水，再牵牛到B处吃草，请问他所走的最短路线是什么？”这就是数学中有名的“牵牛喝水”问题，答案在我们学习了笛卡儿的解析几何后变得很简单. 首先，把放牛的A点看作一个定点，河边l看作一条直线，最后，吃草的地方B也看作一个定点，点A和点B在直线l的同一侧. 那么答案就是先作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B与l交于点C，那么点C就是在河边喝水的地方，A′B就是最短的路线，这道题目就这样被解决了. 而这其中的原理也很简单，那就是两点之间，线段最短. 而在平时的教学过程中，我们如何才能把实际有效的情景问题服务于学生建模思想的形成呢？

以苏科版八年级上“一次函数的图象”的第一课时的教学为例，教师应充分分析学生感兴趣的话题，让学生感受到数学学习不仅仅是为了考试，还是为了更好地服务于学生的生活和学习. 学生在学习“一次函数的图象”时，正好是初二学生学习“速度”的时候，据物理教师介绍，学生在“速度”环节中，对于数形结合中的读图能力有待提升. 因此，在我们和学生一起学习“一次函数的图象”时，我们不妨以一道和物理相关的实际情境题来引发学生的思维.

情境：王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山. 有一天，小强让爷爷先爬，然后追赶爷爷. 图1中的两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离y（米）与爬山所用时间x（分）的关系（从小强开始爬山时计时）.

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这道题目的原型来自于学生当时物理课堂的课堂巩固题，选择这道题的目的是为了验证学生对物理情境和数学图象的结合和转化过程，这样的问题情境呈现在学生面前，学生会感到非常熟悉，而因为情境的熟悉，则能充分激发学生解决它的兴趣和欲望，并在解决的过程中，学生会发现对图象模型的分析能有效地帮助物理学习，会再次让学生感受到数学这门工具学科的价值所在. 这样的情境创设即为有效的情境，既能铺垫知识的构建，又能揭示数学的学科魅力，还能潜意识地渗透建模思想的作用和价值.

■ 智慧的启发提问

在数学课堂之中，教师应为学生创设有效的实际情境，激发学生参与课堂的主动性，激活学生数学思维的兴趣点，在这样的前提下，教师还要注重自己主导地位的重要性，导之有方、导之于理，才能把学生的思维引向一个正确的方向，让学生的学习兴趣形成一个良性循环. 因此，这个“导”的关键在于教师的智慧，在于教师课堂驾驭的智慧之旅. 我们的提问应环环相扣，既暴露学生原有思维中的错误思考，还要让学生在教师的启发式提问下，发现自己原有思维中的不足和错误，从而沿着教师的提问，发现问题、解决问题，提升新知识和新技能. 比如教学苏科版“全等三角形的判定”时，本节知识与技能的目标中就要求学生能够结合自己对全等三角形性质的认识，逐一推导出全等三角形的判定定律. 比如学生通过作图的方法已经获知一边一内角或两内角或两边相等的两个三角形不一定是全等三角形，而在这种情况下，教师可提问：那么三个内角都相等的三角形能全等吗？在这个问题的过程中，有一大部分学生会因为两个原因而产生错误的认识，一个是因为学生知道三条边相等的两个三角形是全等三角形，这时学生会误认为三个内角相等的两个三角形也全等. 第二个原因是学生知道两个内角相等两个三角形不全等，他们会误认为是相等的角太少而不全等，如果三个角都相等了应该就会全等. 学生在初步思考后产生这样的错误思维是很正常的，这时教师可以采用启发式提问的方式让学生自己感悟到自己思维的错误，比如，师：等边三角形的内角为多少度？生：60°. 师：那么，给我们两个等边三角形，这两个等边三角形的三个内角是否相等？生齐声：相等. 师：那么，任意两个等边三角形一定全等吗？这样的提问会让学生幡然醒悟，所以，无论哪种错误的思维，教师都可以通过提问的方式，让学生在自己原有的经验上完善或构建新的正确认识，形成正确的模型. 教师提问的前提是让学生先凭借自己的经验来构建一个抽象、简化的数学模型，再透过教师的提问来验证学生自我构建的模型的正确与否，这种模型检验的思想透过教师长期的启发式提问渗透到学生固有的思维之中，能让学生在自主学习的过程中，逐渐学会自我检验模型的方法，逐渐帮助学生提升建模能力.

■ 自主的方法归纳

学生建模思想的真正形成，不仅要靠教师长期不懈的科学渗透和引导，还要让学生把教师所要渗透的建模思想应用到自己的解题过程中，让建模思想很好地服务于学生的解题. 这时就不仅仅是为了建模而建模，而是为了解决实际问题而建模，是为了更好地完善自己的数学素养而建模，充分体现了数学建模在学生数学学习过程中的核心地位. 因此，在学生平时的学习过程中，教师应让学生自发地总结自己对方法的认识，把一系列的建模思想进行有效地归类，并拿去解决一类问题，这样，学生在实际问题的解决过程中，就能不断积累建模的方法，形成完善的建模思想. 比如中考中的一个难点问题是存在性问题的研究，在中考中，存在性问题分为很多种，下面以面积类存在性问题进行交流. 在进行面积类存在性问题的解决过程中，我们通过学生的训练、反馈、批阅、分析、交流等环节，最终从学生的层面上获取解决面积类存在性问题的一类模型. 如：几何法就要首先确立目标，而代数法则首先要准确定位，在解题的过程中两种方法应相互结合. 但在思维的过程中，我们形成了两种常见的建模方法，一是先根据几何特性确定存在性，再列出方程求解，最后再整合题目意思进行有效地筛选、取舍. 二是先假设存在，根据假设的情况列出方程，再根据解出的方程结果来验证假设的存在与否. 这些方法的总结都归纳在学生有效科学的训练基础之上，并通过教师的引导，让学生总结出来.

教师除了引导之外，还应在学生训练时给学生提供科学、有效并具有指导意义的训练题目. 比如下面这道例题.

例题 如图2所示，在平面直角坐标系中，A，B分别在x轴、y轴上，线段OA，OB的长（OA

（1）求点C的坐标.

（2）求直线AD的解析式.

（3）在直线AD上是否存在点P，使以O，A，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

变式1 在问题（3）的条件下，在平面内是否存在点Q，使以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

变式2 在例题的条件下，在坐标平面内找一点M，使以A，C，D，M为顶点的四边形是平行四边形.

变式3 在例题的条件下，在坐标轴上找一点N，使以A，C，D，N为顶点的四边形是梯形.

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这样的课堂变式，以原题为基础，以学生的认知特点和易错点为变式前提，结合可能出现的问题情境，给学生更多思维变通的机会和空间，确保学生在思维中找到建立数学模型的灵感，并在变式解题过程中，自主地寻找变式中的规律和方法，从建模开始，形成自己的建模思想，从而解决问题，提升自己的解题能力.