让分类讨论思想在等腰三角形复习中飞翔

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摘要：数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的有效教学，有利于提高学生对数学学习的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。在等腰三角形有效教学中，应当有意识地突出数学分类讨论思维，减轻学生的学业负担，激发学生的数学兴趣，培养学生的综合分析能力。

关键词：分类讨论思想 有效教学 等腰三角形

在等腰三角形教学中逐步渗透数学分类思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。而且分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象、发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论思想的数学命题在温州历届中考试题中占有重要地位。

下面我就如何有效地让“分类讨论思想”在等腰三角形复习中应用举例如下：

一、巧取例题，激活分类讨论思维

引入：在等腰三角形ABC中，

（1）已知∠A=40°，求∠B和∠C。

（2）已知∠A=100°，求∠B和∠C。

由这道例题激活学生的分类讨论思维。在（1）中，因为40°

在（2）中，因为100°>90°所以100°的角只能作为顶角，所以另外两个角都等于40°。就这样，由简单的引入学习，学生明白了等腰三角形的顶角和底角需分类。只要在等腰三角形中已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，必须分成两种情况来讨论。分类时要注意，等腰三角形的底角度数不能大于等于90°；等腰三角形中至少有两个角相等。

二、弹性预设，动态生成分类讨论思维

复习课和新授课的最大区别是学生熟悉或掌握了相关的知识与方法，学生思维的火花更容易被点燃，思维的发散更有广度，课堂上的“意外”也容易发生。这就要求老师要有动态生成的教学理念。

例1、已知坐标平面内一点P（1，3）,在坐标轴上是否存在点Q使得OPQ为等腰三角形？若有，求出满足条件的所有点的坐标。

解：如图1，按边分类，以OP为腰，则问题可以转化为：（1）以O为圆心、OP为半径画圆，交X轴和Y轴A（0，10）、B（-10,0）、C（10,0）;（2）以P为圆心、OP为半径画圆，交X轴和Y轴F（0，6）、E（2,0）;（3）以OP为底，作OP的中垂线交X轴和Y轴G（0，）、H（5,0）。

当学生的生成与课前预设不相符合时，作为老师应当尊重学生的思维，不能把学生的思维强扭过来顺着预设方案进行，应当尊重学生的思维，但不是被动地被学生牵着鼻子走，应引领学生的思维从另一个角度了无痕迹地寻找殊途同归的途径――等腰三角形的边、高也需分类。

三、追溯本源，螺旋上升

有些等腰三角形问题，因图形的位置不能确定或形状不能确定，就必须分类全面讨论，而且是边和角交叉在一起。

例2，已知ABC是等腰三角形，过顶点A所引BC边的高线恰好等于BC边长的一半，试求∠BAC的值。

解：要分BC是等腰三角形的底边和腰两种情况进行讨论。

（1）若BC是等腰ABC的底边，如图２所示，AHBC。AB=AC,AH=BC,BH=CH=AH。ABH和ACH均是等腰直角三角形。

∠BAC=∠BAH+∠CAH=45°+45°=90°。

（2）若BC是等腰ABC的腰，AHBC：①若顶角∠ABC是锐角，如图3所示，AH=BC=AB, ∠B=30°，∠BAC=（180°-∠B）=（180°-30°）=75°。②若顶角∠ABC是钝角，如图４所示，AH=BC=AB, ∠ABH=30°，∠ABC=150°，∠BAC=（180°-∠ABC）=（180°-150°）=15°。③若顶角∠ABC=90°，此时AB=BC=BH，与AH=BC矛盾，所以此种情况不存在。

∠BAC=90°或75°或15°。

练习：如图5，点O是等边ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α。将BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得ADC，连接OD。

（1）试说明COD是等边三角形；

（2）探究：当α为多少度时，AOD是等腰三角形？

分析：（1）COD中已经有OC=DC，只需再有一角等于60°就解决问题了。显然∠OCD=60°，问题很快就解决了。

（2）∠AOD=360°-110°-α-60°=190°-α，∠ADO=α-60°，当∠AOD=∠ADO时或∠AOD+∠ADO=90°或∠ADO+∠AOD=90°时均可得AOD是等腰三角形。于是有190°-α=α-60°或（190°-α）+（α-60°）=90°或（α-60°）+（190°-α）=90°，得α=125°或α=140°或α=110°。

所以许多有关等腰三角形的综合问题均可借助图形来分析、思考和解决，当题目涉及的等腰三角形条件不明确，在画出等腰三角形时，应分情况讨论，将所有可能的情况画出来。这是学生思维的难点，有必要去打磨，尤其在易错易混点或思维“卡壳”处要安排有效的后续打磨。

综上所述，复习是学生构建知识网络体系、形成数学思想方法、提升知识理解水平的重要渠道。在复习课中，我们要引导学生发现知识间的相互联系，努力提高对知识内涵与外延的理解，揭示问题的背景，追溯问题的本源，从而实现对数学本质的理解。同一知识的再次学习，不是简单的重复，而是要螺旋式上升。在等腰三角形复习中，由简单的引例引入，为学生形成积极的、发散的思维创造了有利条件，通过几个简单、典型、有效的例题学习，减轻了学生的学业负担，没必要进行“题海战术”，从而能够激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯，让分类讨论思维在不同的范围中有效自由地飞翔。而且数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的有效教学，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。在有效教学中，我们要多研究、多实践、多探索，让学生更好地掌握数学中的分类讨论思想，达到事半功倍。

参考文献

1、丁保荣 主编《初中数学竞赛教程》.浙江大学出版社。

2、谢尚志 放活课堂，放飞思想.中学数学教学参考，2011,3（上旬）。

3、罗增儒 教学效能的故事，高效课堂的特征.中学数学教学参考，2011，1-2。

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