勾股定理的两个变形及其应用

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作者简介 侯明辉,男,满族,1962年10月19日出生,辽宁省岫岩县人,中学高级教师,国家级骨干教师,享受国务院特殊津贴专家,中国管理科学研究院学术委员会特约研究员,鞍山市中小学听评课专家组专家,辽宁省首批中小学教师拔尖人才,政协岫岩满族自治县第六届､第七届委员会常务委员.

1985年9月28日,侯明辉发现了具有重要应用价值的数学三弦定理.这个定理是:过圆上一点引该圆任意三条弦,则中间弦与最大角正弦的积等于其余两弦和它们不相邻角正弦积的和.这一定理的发现,得到了国内一些知名专家的肯定和赞誉,认为该定理是中学数学中的一个新亮点.

在RtABC中,∠C = 90°,BC = a,AC = b,AB = c,则a2 + b2 = c2.这是同学们所熟知的勾股定理.本文给出勾股定理的两个变形,并举例说明其应用,供同学们参考.

一､勾股定理的两个变形

由勾股定理a2 + b2 = c2,可得到下面两个变形.

变形1:(a + b)2 - 2ab = c2. 变形2:(a - b)2 + 2ab = c2.

通过这两个变形,我们可以从a､b､c､a + b､a - b､ab中任意两个出发,求出其他各个量.

二､应用举例

应用上述两个变形求解某些直角三角形问题,十分简便.

例1 在RtABC中,∠C = 90°,AC + BC = 7,SABC = 6,求AB的长.

解:因为∠C = 90°,所以SABC =AC・BC = 6,得AC・BC = 12.由变形1及AC + BC = 7,得AB2 = 72 - 2 × 12 = 25,则AB = 5.

例2 一个直角三角形的周长是2 +,斜边上的中线长是1,求这个直角三角形的面积.

解:设这个直角三角形的两条直角边分别为a､b,斜边为c.由a + b +c = 2 +,而斜边上的中线长是1,所以c = 2,从而得a + b =.由变形1,得 2 - 2ab = 22,故得ab = 1.所以这个直角三角形的面积为 ab =.

例3 已知一个三角形的一边长为2,这条边上的中线长为1,另两条边长的和为1 +,求这两条边长的积.

解:在ABC中,设BC + AC = 1 +,AB = 2.因为AB边上的中线长为1,所以∠C = 90°.由变形1知,1 +2 - 2BC・AC = 22,得BC・AC =,即为所求.

例4 在RtABC中,∠C = 90°,BC = a,AC = b,AB = c,a > b.如果SABC =30,c = 13,求a + b与a - b的值.

解:因为∠C = 90°,所以SABC =ab = 30,得ab = 60.由变形1,得(a + b)2 - 2 × 60 = 132,得a + b = 17.由变形2,得(a - b)2 + 2 × 60 = 132,得(a - b)2 = 49,因a > b,故a - b = 7.

例5 在ABC中,∠C = 90°,BC = a,AC = b,AB = c.如果 c =,a - b = ,求ABC的周长.

解:因∠C = 90°,故由变形2,得(a - b)2 + 2ab = c2,即 2 + 2ab= 2,所以ab = 3.由变形1,得(a + b)2 - 2ab =2,则(a + b)2 = + 6 =,所以a + b =.所以,ABC的周长 = + = 6.L

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