感悟实数中的数学思想

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实数是初中阶段的基础知识，也是比较重要的知识点，其中渗透着丰富的数学思想。在解答实数问题时，若能把握其中的数学思想方法，则可使解题思路开阔，方法简便快捷。下面举例说明。

一、转化思想

所谓转化思想，就是要把所要解决的问题化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题。具体地说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“复杂”转化为“简单”，把“陌生”转化为“熟悉”，把“未知”转化为“已知”。

比较■与■的大小。

解析 比较两个实数的大小有很多方法，本题可以借助计算器取近似值比较大小，也可以通过比较■与3的大小来解决问题。

因为7

点评 本题在比较两个实数大小时，采用了转化变形思想，通过观察分析可知，比较■与■的大小，可转化为比较■与3的大小。

二、分类讨论思想

分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后分别研究，给出每一类的结果，最后综合各类结果解答整个问题。

已知x=3，y=2，xy

A.5或-5 B.1或-1 C.5或1 D.-5或-1

解析 由x=3，y=2，可知x=±3，y=±2。又xy

（1）当x>0，y

（2）当x0时，x+y=-3+2=-1。所以x+y=±1。故答案选B。

点评 按照不同的标准，实数有一些不同的分类方法，而且不同的分类方法各有所长，分类时只要做到不重不漏即可。

三、数形结合思想

数轴是理解实数及其运算的重要工具，像数轴这样把数与形结合起来进行研究的思想方法，就是数形结合思想。

实数a在数轴上位置如图所示，化简a-1-■=______。

解析 由图知1

则有a-1+■=a-1+a-2=a-1+2-a=1。

点评 数与形是对立统一的，学习实数与数轴后，把数与形结合起来解决问题，可以起到直观准确的作用。弄清数形互译的意义是解决此类问题的关键。

四、归纳猜想思想

归纳猜想是解决规律性问题的重要数学思想方法。在实数问题中经常会出现一些规律性的题目，需要我们从特殊情况入手进行探索、猜想、归纳。

比较下面四个算式结果的大小（在横线上填“”“=”）。

42+52____ 2×4×5；（-1）2+22 ____ 2×（-1）×2；

（■）2+（■）2 ____2×■×■；32+32 ____ 2×3×3。

通过观察归纳并写出反映这种规律的一般结论：_______。

解析 横线上填写的大小关系分别是：>，>，>，=。

一般结论是：如果a、b是两个实数，则有a2+b2≥2ab，且当a=b时取等号。

点评 观察是思维的前提，归纳是思维的升华，它是学习数学的重要思想方法。在近几年中考数学题中，归纳实数的排列规律、图形摆放规律等都要用到归纳猜想思想。

五、估算思想

估算思想是在处理问题时，采用估算的方法达到解决问题的目的。在实数问题中，由于涉及无理数的大小比较或确定无理数的范围等问题，在解决此类问题时经常用到估算方法。

估算■+2的值（ ）

A.在5和6之间 B.在6和7之间

C.在7和8之间 D.在8和9之间

解析 因为16

4+2

点评 要估算一个无理数的范围，可以先估计这个数的一部分的范围，然后利用不等式的性质解决问题。

六、从特殊到一般的思想

各种特殊情形往往包含着一般性的规律，我们常常通过研究特殊情形时问题的答案或解法，然后猜想、归纳出一般性的规律，并把这个规律运用到一般情形。例如，我们通过研究一些正数、0、负数的平方根或立方根，从而归纳、总结出平方根、立方根的性质。

请你观察下列计算过程：因为112=121，所以■=11；同样，因为1112=12321，所以■=111；……由此猜想■=____。

解析 观察被开方数121，12321，…，这些数字都是从两头1开始，往中间依次递增的对称型数字；而121=112，12321=1112，……这就是说121，12321，…，这些数的算术平方根分别是11，111，…，这些算术平方根全部由1组成，1的个数与被开方数中从两头到中间的位数一样。根据这个规律，可以猜想12345678987654321=1111111112，所以■=111111111。