构造图形,让有理数的学习更精彩

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“有理数”是学生从小学阶段的算术到代数的过渡重要阶段，其中有理数的计算，既是实数运算的基础和依据，也是代数式四则运算的重要基础.进入初中的学生年龄大都是11至12岁，这个年龄段学生的思维正由形象思维向抽象思维过渡.思维的不稳定性以及思维模式的尚未形成、方法的掌握极其重要.图形的构造，就是解决此类问题的一个极佳的桥梁.

一、等差数列的求和

在初一年级，等差数列的求和公式并未推导，如遇到等差数列的求和时，除了推导出等差数列求和公式再用其求解外，还可构造图形求解.

【例1】求1+2+3+4+…+n的值，其中n为正整数.

对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾相加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论.如采用数形结合的方法，借助图形的性质来说明，那就非常直观了.

方法如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的.而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值.现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形.此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为n（n+1）2 ，即

1+2+3+4+…+n=n（n+1）2 .

此题也可拓展为求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整数.

图1

方法一：作出一个平行四边形，平行四边形的边长分别为2n，n；则组成一个平行四边形小圆圈的总个数为n×2n个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为n×n，即

1+3+5+7+…+（2n-1）=n2.

图2

方法二：作出一个正方形（如图2），它的边长为n，此时小圆圈的总个数为：n×n=n2，即1+3+5+7+…+（2n-1）=n2.

二、等比数列的求和

在初一年级，等比数列的求和公式并未推导，且推导较为复杂，其中涉及有理数的乘方，初一学生还未曾学到，因此构造图形求解是极佳的求解方法.

【例2】求12 +14 +18 +116 +…+12n

的值，其中n为正整数.

图3

方法如下：分析数据，如图3所示，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12 的长方形，接着把面积为12 的长方形等分成两个面积为14 的正方形，再把面积为14 的正方形等分成面积为18 的长方形，如此进行下去……利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即可.由此可得：

12 +14 +18 +116 +…+12n=1-12n.

此题的作图方法也可表示为：

图4图5

图6图7

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.”数学学习中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透，由数思形，以形思数.因此，复杂的有理数计算正因为有了图形的构造，而显得精彩纷呈！