欧拉数学直觉在数学教育中的启示作用
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中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：
中学《数学课程标准》明确提出要培养和发展学生的创新意识和实践能力，并要求教师引导学生从数量和空间关系去观察、比较、分析、提出问题、进行猜想和实验、推理和判断等数学活动，使学生获得必备的数学知识，并会运用数学直觉思维去解决实际问题，使学生获得进行数学探究的切身体验和能力。
迪瓦多内说：“任何水平的数学教学的最终目的，无疑是使学生对他要处理的数学对象有一个可靠直觉。”在教育过程中，教师如果把证明过程过分的严格化、程序化，用僵硬的逻辑外壳掩盖住直觉的光环，学生们只能把成功归功于逻辑的功劳，而丧失了可靠的直觉，那将是我们教育的失败。综观中学数学新教材从七年级数学第一章《丰富的图形世界》开始，无处不蕴含着培养学生的创造性思维和创新精神。徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”
一、直觉思维不是无根据的臆想，而是建立在扎实的数学基础知识之上
欧拉的数学直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无辜的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础的。若没有深厚的功底是不会迸出思维的火花的。所以数学教师在平时的教学过程中，应该教学生如何利用已有的数学知识、经验，通过对数学问题的观察、分析，凭借直觉尝试地解决问题。当我们具体面对一个数学问题时，必须先判断问题与大脑所储存的各种信息之间的关系，通过检索，找到与先前经验结果的某种对应，直接判断问题类型和解决方略，这个过程是迅速决定“是什么”而不去考虑“为什么”。
例如，在求解需要添设辅助线的平面几何问题时，中学生通常会有下列认识：
①对于相交圆问题，优先考虑添设公共弦和连心线；
②对于两圆相切问题，优先考虑添设公切线和切点半径；
③对于结论为线段乘积式的问题，可先把乘积式化为比例式，然后寻求构造相应的相似三角形；
④对于带直径条件的圆内问题，可优先考虑添设直径上圆周角。
对于这些认识的合理性，学生在事后可以讲出不少理由，但在做时往往不假思索，直接做出。这无疑是凭借经验，对问题性质的一种直觉判别。
量的积累是质的飞跃的前提，拥有坚实的数学基础知识，运用正确的数学思维方法，不仅能解决一些常规问题，而且还能解决一些要求独立思考、见解独到、思路合理和有创造性思维的问题。灵感光临的是有准备的头脑。丰富数学知识的积累是产生直觉思维的源动力。
二、情境教学，创造直觉思维环境
创造直觉思维的情境教学从时间上看分为课堂和业余。课堂教学情境的创造主要是以教师为主导，学生为主体的互动教学环境。它要求数学教师转变数学观念，把主动权还给学生。对于学生的大胆设想给予充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励、爱护，扶植学生的自发性直觉思维，以免挫伤学生直觉思维的积极性，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。
“跟着感觉走”是教师经常讲的一句话，其实这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽，只不过没有把它上升为一种思维观念。教师应该把直觉思维冠冕堂皇的在课堂教学中明确的提出，制定相应的活动策略，从整体上分析问题的特征，重视数学思维方法的教学。诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，对渗透直觉观念与思维能力的发展大有稗益。
数学直觉思维的训练与培养，课堂是主战场。课堂教学的启发引导与课余的辅导训练相结合，将为学生创造一个良好的直觉思维环境。随着时间的推移，一定会产生群体效应，从而使学生从扼杀其思维的题海战术中解脱出来。实践证明，在数学竞赛和科技发明创造竞赛中的获奖者，大都是这些“异想天开”的学生。
三、数形结合，诱导直觉思维动机
华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉，对培养学生的几何直觉思维大有帮助。教师应该把直觉思维在课堂教学中明确提出，制定相应的活动策略。重视数学思维方法的教学，诸如换元、数形结合、归纳猜想、反证法等。通过方法论的分析使数学中的发明、创造活动成为可以理解的、可以学到手的和可以加以推广应用的，以思想方法的分析去带动具体知识内容的教学。欧拉在解决哥尼斯堡的问题时，就充分利用了数形结合这一思想。公元1737年，欧拉接到了“七桥问题”，他心里想：先试试看吧。他从中间的岛区出发，经过一号桥到达北区,又从二号桥回到岛区,过四号桥进入东区，再经五号桥到达南区，然后过六号桥回到岛区。现在，只剩下三号和七号两座桥没有通过了。显然，从岛区要过三号桥，只有先过一号，二号或四号桥，但这三座桥都走过了。这种走法宣告失败。欧拉连试了好几种走法都不行，他算了一下，走法很多，共有
7×6×5×4×3×2×1=5040(种)
这样一种方法、一种方法的试下去，什么时候才能试完呢？他想：不能这样呆笨地试下去，得想别的方法。最后欧拉终于想出一个巧妙的办法。他用A代表岛区，B、C、D分别代表北、东、西三区，并用曲线弧或直线段表示七座桥，这样一来，七座桥的问题，就转变为数学分支“图论”中的一笔画问题，即能不能一笔不重复地画出这个图形。欧拉集中精力研究了这个图形，发现中间每经过一点，总有画到那一点的一条线和从那一点画出来的一条线。这就是说,除起点和终点以外，经过中间各点的线必然是偶数。因此，经过所有点的线都必须是偶数才行。而经过A点的线有五条，经过B、C、D三点的线都是三条，没有一个是偶数，从而说明，无论从哪一点出发，最后总有一条线没有画到，也就是有一座桥没有走到。欧拉终于证明了要想一次不重复地走完七座桥，那是不可能的。欧拉利用数形结合的思想只用了一步证明，就概括了5040种不同的走法，并由此创立了新的一门学科——图论。从这里我们可以看到，数学中数形结合思想的威力是非常大的。
教学中选择适当的题目类型，有利于考察和培养学生的直觉思维。例如选择题，由于只要求从四个选项中挑选出来一个正确的答案，省略解题过程，允许合理的猜想，有利于直觉思维的发展。实施开放性问题教学，也是培养直觉思维的有效方法。开放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，由因索果，提出猜想，由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。当人们解一道数学题时，往往要对结果或解题途径先做大致的估量或猜测，这就是一种数学直觉思维。在解决抽象的数学问题时，要注意利用直觉思维解题，能把抽象转化为具体，本身也是一种直觉思维能力。
五、鼓励创新，培养直觉思维信心
传统的数学教学追求的往往是试卷上的高分，而这些高分的获得者常常是“低能儿”。其高分的取得基本上是死记硬背、按部就班的解题的结果，忽视了求异思维和独到的见解。现代教育教学思想鼓励创新，对于标新立异者，他们虽不能对问题给出明确的思维过程，但仍要给以支持，激发他们去寻求完善的结果。学生对数学的兴趣主要来源之一是数学学科的特点。对一个不加逻辑分析证明而是通过直觉获得问题结论的学生应给以肯定的表扬，这将会让成功的喜悦激励其钻研精神，并获得发现新事物的信心，同时更加强化了自信力。
成功的数学直觉思维的培养还受其它因素制约，主要是教师的自身素质问题。我们认为这并不要求每个数学教师都是数学天才，但要求数学教师要有精深的数学专业基础知识，严谨治学的科学态度，丰富的教学实践经验，宽厚的高尚道德情操和甘为人梯的伯乐精神。
数学是一门滴水不漏的学科，许多直觉洞察的空隙必须要用逻辑推理来填补。 对于直觉与非形式的强调是无可非议的，但是我们并不能以此去取代数学证明，而只能作为后者的必要补充。如果在解决问题的过程中总是满足于不加证明的猜测，他们很快就会忘记在猜测与证明之间的区分，这样甚至可以说比根本不知道如何去解决问题更糟。直觉思维与逻辑思维同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展。伊思·斯图尔特曾经说过这样一句话，“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑。”受控制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。