层层体会 建构概念
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【教材分析】“众数”是人教版课标教材五年级下册第122～123页的教学内容，是一节概念教学课。学生在三下和五上已经分别学习了平均数和中位数，并知道这两个统计量的特点，这是学习本节课知识的认知基础。教材在编排时注意了新旧知识的衔接和对比，让学生通过平均数和中位数的对比学习掌握众数的统计意义及特点。
【教学目标】
1. 理解众数的含义，学会求一组数的众数。
2. 在问题解决中体会众数的应用价值，通过比较，体会众数、中位数和平均数各自的特点，培养学生根据数据特点来选择合适的统计量的能力。
【教学过程】
一、 引入
（一） 在猜年龄活动中复习“平均数”
师课件出示：草地上有七个人在玩游戏，他们的平均年龄是10岁，猜想一下可能是什么年龄的七个人在玩游戏，把他们的年龄写下来。
反馈：师板书学生猜想的年龄，全班检查是否平均数是10。
生：10，10，10，10，10，10，10。
师：每个人的年龄都是10岁，平均年龄当然是10了。
生：8，8，8，10，12，12，12。
师：你怎么看出平均年龄是10？（复习移多补少的方法）
生：7，8，9，10，11，12，13。
师：平均年龄是10吗？
（二） 在描述数据中关注同一数据出现的次数
师：老师之前也让其他班级的同学来猜这个问题，有同学是这样猜的。（课件出示柱形图：15，10，9，
9，9，9，9）
师（追问）：这七个同学的平均年龄也是10岁，他们的年龄还有什么特点？
生：大部分人的年龄是9岁。
师：还有一位同学是这样猜的。（课件出示柱形图：12，12，12，12，10，6，6）
师（追问）：那这七个同学的年龄还可以怎么来介绍？
生：超过一半的人年龄是12岁。
师：我们有了那么多种不同的猜测，那么到底是什么年龄的七个人在玩呢？（课件出示柱形图，揭示七个人的真实年龄：3，3，3，3，3，3，52）
师：你们怎么这么惊讶？这七个人的平均年龄也是10岁呀！
引起学生议论：这组年龄中有一个人的年龄特别大，另外大部分都是3岁。
师：这样的一组数据用平均数10来表示整体水平合适吗？（不合适）那么你们认为用哪个数来表示整体水平更合适？理由是什么？
生：用3来表示整体水平更加合适，因为大部分人都是3岁。
（设计意图：众数是一个统计概念，要让学生真正理解并接受这个概念，必须打破学生头脑中根深蒂固的思维定势，即习惯用平均数来描述数据的整体情况，所以本课引入猜年龄这一情境，用一组平均数是10但与学生想象中有很大冲突的数，让学生感受引入众数的必要性，从而激发学生对众数这一概念的学习兴趣和研究热情。）
（三） 借助典型数据，引出众数概念
师课件出示三组数据（见图1）。
师：仔细观察，9、12、3在每一组数据中都可以代表这组数据的整体水平，它们有一个共同的特点，你发现了吗？（出现次数最多）
板书：一组数据中出现次数最多的数，是这组数据的众数。
师：众数和我们学过的中位数和平均数一样，也是生活中常用的一个统计量，众数也可以表示一组数据的整体水平。
（设计意图：一个概念的形成需要一定量的积累，教师让学生通过对三组具有共同特征的数据的观察，发现9、12、3在各组数据中的特点是出现次数最多，初步得到众数的概念，知道众数和平均数一样，也能代表一组数据的整体情况。）
二、 展开
（一） 探讨计算众数的方法，感受其多样性
1. 依据众数概念直接求众数。
给出五组数据，请学生找出每一组数的众数。
师：说一说每组数的众数是几？你是怎么想的？
生1：第一组数的众数是155，因为155在这里出现了3次，出现的次数最多。
生2：第二组数的众数是40，因为40出现了2次，其他都只有1次。
生3：第三组数的众数是1.48。
师：同意吗？你是怎么找的？（投影展示学生统计过程）
生4：我是画“正”字统计的。
生5：我是数的：1.46（4），1.52（2），1.48（6），1.52（1）1.47（1），1.49（3），1.50（2），1.51（1）。
结合生5的发言，教师课件演示：将这些数落在数轴上（如图2）。
师：是的，当一组数据中有较多数时，一定要有序统计每个数出现的次数，准确找到众数。第四组的众数呢？（生摇头）
师：遇到什么问题了？
生：这组数中的84和87都出现了2次，怎么办？
师：看来我们需要再回顾一下众数的概念：出现次数最多的数。那么这组数中出现次数最多的数是（84和87），所以84和87都是这组数的众数。同学们，一组数的众数有时不止１个。
生：第五组数的众数有5个，因为每个都出现1次，都是出现次数最多的。
师：有不同观点吗？
生：我认为这组数没有众数，因为大家都是众数，就没意义了。
师：对的，当一组数中每个数都只出现1次，那么这组数就没有众数。
师小结完善众数的概念（板书）：众数的个数有时是1个，有时不止１个，也有可能一组数据中没有众数。
（设计意图：上述五组数据的设计都有其目标：前三组依据众数概念直接找众数；第三组数据比较多，反馈时关注找的过程的展示；第四组众数有2个；第五组没有众数。通过这一过程，巩固众数的概念，加深对其意义的理解，初步感受众数与中位数、平均数的区别。）
2. 进一步提炼计算众数的方法。
再出示一组数，请学生找一找众数。
口头反馈，教师追问：n是数字几重要吗？在这里会影响我们找到这组数的众数吗？从这组数中找众数你有什么想说的？
师引导学生小结并概括众数概念的一般特点：众数只和这个数在这组数中出现的次数有关，而与这个数是几无关。
（设计意图：通过带有字母的数组找众数，使学生感受众数概念的一般特点：出现次数最多。）
（二） 结合具体情境体会众数、中位数、平均数的联系与区别
1. 结合直观图，体会三个统计量的适用性及局限。
出示第一组和第二组数据的直观图（如图３），讨论：这两组数据都能用众数代表整体水平吗？
生：第一组众数155可以代表它的整体水平，因为一组中有3个人跳绳的个数是155个。
生：第二组数的众数不可以代表整体水平，因为众数40是最大的一个。
师：观察第二组数据发现众数代表整体水平不合适，那么你认为平均数和中位数（课件显示并排好序），谁代表它的整体水平合适？（中位数34，平均数29.6）
生：中位数34代表它的整体水平更合适，因为这里有一个数7很小，使平均数偏低。
师：你们太棒了，的确如我们讨论的，并不是每一组数的众数都适合代表它的整体水平。
师出示第三组数据，并给出中位数和平均数。
师：这组数用谁代表它的整体水平合适？
生：众数、中位数、平均数都可以代表它的整体水平。
师：怎么想的？
生：因为这三个数都差不多，这组数里也没有极端数。
师：是的，有时候众数、中位数、平均数都可以代表一组数的整体水平。根据不同的数据特征，我们要会选择用不同的统计数据来分析。
2. 结合数据组中某些数据的变化，分析三个统计量发生变化的情况。
再次出示第二组数据。
师：如果在这组数据中有一个数据发生变化，你认为众数、中位数、平均数谁会受影响？
生：平均数一定会受影响，因为只要有一个数变了，平均数就变了。
师：大家同意吗？看来平均数最敏感。那么中位数和众数呢？
生：中位数可能会变，也可能不变。
师：你能举例吗？（结合学生的举例，师利用excel演示，观察变化）
生：沈易7个变成20个，中位数还是34。朱迎30变成35个，那么中位数就变成35了。
师：说得真好，我相信这样的例子一定还有很多。那么众数会怎样变化？
生：如果少的那个变成和其他人一样多，众数就变，如沈易变成21个，众数就变成21和40了。如果蓝天从40变成41，那么这组数就没有众数了，其他情况一般不变。
师：我可以这样理解你的意思，这个变化的数据如果影响到这些数出现的次数，众数就会变，否则众数就不会变，是吗？
（设计意图：教师结合具体情境，让学生深入理解众数的概念，分析数据的变化，选择合适的统计量来表示它的整体情况。体会众数、中位数和平均数的联系与区别，把握它们各自的本质特征，从而深度理解众数的概念。）
三、 应用
师出示题目：江干区举行打字比赛，每校派出1名代表参加，老师对两位候选同学进行了1分钟打字测试，9次测试结果如下图，你认为根据什么条件选择，应选谁去参加比赛？（学生先小组交流，然后在全班交流）
师小结：同样的数据，如果从不同的统计角度去分析，就会得到截然相反的结论。这就告诉我们，一定要用好学过的这些统计数据，学会有利的分析。
四、 课堂小结（略）
【课后反思】
一、 顺应认知，引出众数概念雏形
众数是继平均数和中位数之后引入小学数学课堂的第三个统计量，本课引入部分依据学生已有的概念，实现认知转向，把握新的数据特征。在反馈学生猜测的结果时，目标指向两个不同的层次：第一层次是复习平均数的意义及其特征，感受“根据平均年龄是10，大家猜测的七个数据都是接近10”；第二层次是通过教师补充的数据，将视角慢慢转向，引导关注数据中某个数出现的次数，让学生感受这样的数据还可以用“超过半数都是12”“大部分都是9”来描述数据特征，初具概念的雏形。
二、 层层推进，逐步完善众数概念
在教学中一个概念的建立需要量的积累过程，这样才能真正得到建构。通过下面三组数据“15，10，
9，9，9，9，9；12，12，12，12，10，6，6；3，3，3，3，3，3，５２”让
学生感知这几组数据的特征：某个数出现的次数特别频繁。特别是第三组，会给学生强烈的刺激，从而顺势引出“众数”的概念，即“出现次数最多的数”。
课中用了三个不同层次目标的七组数据，帮助学生掌握众数的求法及逐步了解众数的一般特征。
另外，在理解众数的概念时，如何让学生了解其真正的适用性，有一定难度。本课设计了应用众数解决实际问题的几组数据：结合第一组和第二组的跳绳个数和仰卧起坐个数，选择“哪一组数用众数表示整体水平合适”，让学生知道众数能表示一组数的整体水平，但并不是每一组数的众数都适合用于表示整体水平，打破学生新学的知识一定是最有用的思维定势。
三、 比较辨析相关概念，使理解趋向深刻
教师通过不同数组的众数比较，让学生感受众数应用的局限性；通过众数与平均数、中位数的比较，让学生理解众数应用的适用性。为使学生的理解更深入，教师设计了三个层次的比较辨析。
1. 不同数据不同选择。通过三个具体情境和三个关键问题：“这两组数据都能用众数代表整体水平吗？”“众数代表整体水平不合适，那么你认为平均数和中位数，谁代表它的整体水平合适？”“这组数用谁代表它的整体水平合适？”让学生明白众数、中位数和平均数没有好坏之分，只有合适之别。有时这三个数都可以代表一组数的整体水平；当众数处于最大或最小时，不适合；当有极端数据时，平均数不适合。
2. 变化中感受相对稳定。仍然用第二组数，面对“哎呀！我的个数数少了”，抛出问题：“你认为众数、中位数、平均数谁会受影响？”让学生感受平均数的敏感性以及众数的相对稳定性，究其原因还是在概念上。正因为众数只和出现次数有关，所以某个数的变化只要不影响次数，都不影响众数；反观平均数，因为它和每一个数的大小都有关，只要任何一个数变化就会引起它的变化。
3. 不同数据为我所用。创设情境“选谁去参加打字比赛合适”，让学生能够根据统计数据，来解释自己的选择，来说明问题，同时在交流争论中发现：依据不同的统计数据，分析得到的结论却是完全不同的。在引导中让学生明白，依据数据可以选择结果，有时候也可以根据结果来选择有利的数据，即数据为我所用。生活中这样的现象很多，学会合理看待生活中遇到的统计数据，了解其背后真正的用意。
（浙江省杭州市春芽实验学校 310020）