如何解决函数自变量的取值范围

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引入代数式以来，在初中教材中所接触的代数式主要可分为一下几类，即：

整式 如：4x2-3x+2，-3x-1……

分式 如： ，

二次根式 如： 2-x……

用解析法所表示的函数关系式中，解析式就是关于自变量的整式、分式、二次根式的式子。为此，只要弄懂代数式有意义的条件，对解决函数自变量的取值范围的问题将是轻车熟路。

笔者将解决函数自变量的取值范围的问题归纳为以下几种。

一、整式型

关于自变量的代数式若为整式，其自变量的取值范围是全体实数，亦即整式有意义的条件。

例1.函数y=4x2-3x+2中，x的取值范围是______。

解：4x2-3x+2 是整式，

x取全体实数。

二、分式型

关于自变量的代数式若为分式，其自变量的取值范围是使分母不为0的实数，亦即分式有意义的条件。解决办法是列不等式。

例2.求下列函数中自变量的取值范围。

（1）y= （2）y= （3）y=

解：（1）x-1≠0，

x≠1。

（2）1+x-6x2≠0，

即（3x+1）（2x-1）≠0，

x≠- 且x≠ 。

（3）4x2-4x+2=（2x-1）2+1≥1≠0，

x的取值范围为全体实数。

注：对于（2）、（3）小题，分母为二次三项式型。

①若b2-4ac≥0，该二次三项式必能分解因式（如1+x-6x2），其不等式的解集一般为x≠x1且x≠x2。

②若b2-4ac

三、二次根式型

关于自变量的代数式若为二次根式，其自变量的取值范围是使被开方数为非负实数，亦即二次根式有意义的条件。解决办法是列不等式。

例3.函数y= 2-x中x的取值范围是______。

解：2-x≥0，

x≤2。

四、条件型

对于零指数幂a0=1，要注意a≠0。

例4.函数y=（x-1）0中x的取值范围是______。

解：x-1≠0，

x≠1。

五、混合型

关于自变量的代数式是含整式、分式、二次根式的综合式子，其解决办法是列不等式组。

例5.函数y= +x0的自变量x的取值范围是______。

1-x≥0

解：依题意，得 3+x≠0 解之得x≤1且x≠0且x

x≠0

≠-3。

六、实际问题型

这类问题需要满足两个条件。首先是自变量的取值必须使解析式有意义；其次是自变量的取值必须使实际问题有意义。

例6.已知ABC中，AB=AC， 周长为16cm，BC长为ycm，AB长为xcm，写出y关于x的函数关系式，并求自变量x的取值范围。

解：（1）关于x的函数关系式为y=16-2x。

（2） 由三角形三边关系知AB-AC

解得：4

x的取值范围是4