全球等面积四叉树离散格网建模与网边变形分析

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摘 要：介绍了全球等面积四叉树离散格网的建模方法，提出了网边长度递推公式，并且依据递推公式进行了实验，根据实验数据进行了网边变形分析，并与QTM做了对比分析，结果表明全球等面积四叉树离散格网比QTM具有更小的变形。

关键词：全球离散格网；网边变形；同素格网带

随着全球问题研究的深入，越来越多的宏观应用需要在全球范围尺度上操作，如果继续沿用地图投影，将球面或椭球面数据转换到平面上处理则会出现许多问题。全球离散格网有望从根本上解决平面格网模型在全球多尺度数据管理上的数据断裂变形和拓扑不一致性等问题[1]。常用的全球离散格网是经纬度格网，它符合人们的习惯，但从赤道到两极它在面积和形状上的变化越来越大[2]。QTM 几何变形稳定，且具有层次性、点位分布较均匀等特点，但其不能直接利用经纬度坐标系下的数据源需进行一定的转换，而QTM 地址码与经纬度之间的坐标转换较复杂且存在精度损失[3]。全球等面积四叉树离散格网数学结构严密、无面积变形且与经纬线方向一致，本文在极点片状全球等积离散格网建立的四叉树模型的基础上，给出了网边变性的递推公式并进行了分析比较。

一、等面积四叉树全球离散格网数学基础

1.球冠、球带

对于半径R的球面垂直于直径的平面将其分割成两个部分，把高度小于或等于R的部分称作球冠。垂直于直径的两平面将其分割分成三个部分，处于两分割平面之间的部分称作球带[4]。

2.球冠等积四叉树分割

图1球冠四分模式

（1）分割模式

图1中半径R高度H 的球冠a 分成四部分常有（b）、（c）两种形式。称（b）模式为极点片状等面积四分模式，四个格网呈两层排列，顶层是一个子球冠格网，底层为处于同一球带上的三个梯形格网；称（c）模式为极点瓣状四分模式。若从极点近邻区域应属同一个格网来着眼，（b）模式比（c）模式要好[5]。

（2）极点片状等积格网四叉树

图1中（b）为球冠的一级分割，规定一级梯形格网分割线为-120°、0°、120°三条经线。对一级子球冠格网，以H/16 的纬线平面及-120°、0°、120°三条经线进行分割，又被分成四个二级格网；对一级梯形格网以过球带高中点的纬线平面及格网中央经线进行分割，形成中带底色的12个等面积格网。这样二级格网共有16个。按照这种方法可无限继续进行，各级格网形成一颗四叉树。

（3）球带格网的等积四叉树分割

在球冠的二级四叉树分割中，顶部子球冠格网被进一步被分成一个次级球冠格网与三个同一球带上的格网外，其余非球冠格网则属同一球带上格网的等积四叉树分割，其分割方法为每个球带格网的中央经线与过球带高中点的纬圈。

二、等面积四叉树全球离散格网变形分析

格网的几何稳定性是格网模型的基本特性，对于保持格网的精度有着重要意义，直接影响到不同分辨率下地理实体的表达和操作的精确性。格网的几何均匀性及其在不同分辨率剖分层次下的稳定性是实践应用中选择格网的一个重要参考指标。

1.等面积四叉树全球离散格网网边变形递推公式

对于半球的等面积格网即球冠半径及高度均为地球参考球面半径R。每个格网长度应该为该格网所在纬线圈周长除以该格网带的列数。利用公式：纬线圈周长= 2πRcos，其中为该纬线圈的纬度值。又当带号m不等于等面积格网的级数n+1时，第m同素格网带的列数。

以一号Cm=3*2n-m。格网带为例，其中最大边为赤道，其纬线圈长度为2πR，随着递归剖分其每个格网带的长度应为2πR/3*2n-m。由于该同素格网带带高不会变即为3R/4，所以最上边即最短边的纬线圈长度也不会变，依据纬度定义有，可得纬度=arcsin3/4，因此该边随着格网的递归剖分其每个格网带的长度应为2πRcos/3*2n-m。

而对于最上边和最下边之间的格网，由于其纬度会随着网高的不同而有所变化，所以要先计算出其网高，进一步推出纬度即可得纬线圈长度。依据公式：网高=带高/行数，即hm=Hm/rm，当带数不等于等面积格网级数n+1时，网高hm=3R/4m*2n-m，依据纬度定义有，再依据纬线圈长度除以列数即可。也就是最下边l=2πR/3*2n-m，最上边l=2πRcos/3*2n-m（=arcsin3/4），中间格网l=2πRcos/3*2n-m（=arcsin3R/4m*2n-m）。

2.网边变形结果

选取西安80坐标系，其参考椭球体为1975国际椭球体，参数为a=6378140m，b=6356755.288m，e2=0.006694384999588。因此依据等面积球体半径计算公式R等面积=a（1-1/6e2-17/360e4），得R=6371010.222m。表1为上述给出的递推公式求得的边长在不同层次的变化。

3.网边变形分析

（1）QTM格网的几何变形计算

根据QTM曲面面积和弧距计算公式[6]，得QTM最大边最小边比值 （表2）

表1.边长在不同层次的变化

等面积

格网级数 行数（由下向上） 下边格网长度 上边格网长度 上下边比值

1 1 13336648 8821926 1.51

2 1 6668324 6181536 1.08

2 6181536 4410963 1.4

3 1 3334162 3275147 1.02

2 3275147 3090768 1.06

3 3090768 2756685 1.12

4 2756685 2205481 1.25

4 1 1667081 1665997 1

2 1665997 1637574 1.02

3 1637574 1599898 1.03

4 1599898 1545385 1.04

5 1545385 1472533 1.05

6 1472533 1378343 1.07

7 1378343 1257926 1.1

8 1257926 1102741 1.14

表2.QTM模型最大边与最小边比值在不同层次的变化

QTM层次 三角形个数 边长/km 最大边比最小边

1 4 5000 1.42

2 16 2500 1.53

3 64 1250 1.61

4 256 625 1.69

5 1024 313 1.75

6 4096 256 1.79

7 16384 78 1.82

8 65536 39 1.83

9 262144 20 1.84

10 1048576 10 1.85

11 4194304 5 1.86

（2）QTM几何变形分析

通过对计算结果的分析发现：随着格网的不断细化，三角形的最大和最小面积的比值与最大和最小边长的比值越来越大，但是其变化的速度越来越小。

（3）分析比较

图2.变形比值在不同层次的变化

1.随着格网的不断细化，变形由下向上不断增大，但都保持在1左右

2.与QTM相比，格网变形要小的多且没有面积变形（如图2）

3.同样具有收敛性，保持了近似均匀的特征

4.有利于球面实体的层次索引与扩展操作，是比QTM更好的格网剖分模式

全球离散地理格网是基于球面的一种可以无限细分，但又不改变形状的地球拟合格网，当细分到一定程度时，可以达到模拟地球表面的目的。本文在对全球等面积四叉树离散格网建模方法分析的基础上，进行了网边变形计算及分析，得出以下结论：

（1）全球等面积四叉树离散格网在纬向上采用表现为纬圈到赤道面垂直距离的线量来控制，减小了格网的变形量。

（2）几何变形稳定。随着格网的不断细化，格网单元的最大、最小边长比越来越大，但变化速度越来越小，最终都收敛到1左右，使得其在递归剖分中，同样保持近似均匀的特性，其变形阈值的存在为精度分析和数据质量控制提供了依据。

参考文献：

[1]赵学胜，王磊，王洪彬，李颖.全球离散格网的建模方法及基本问题[J].地理与地理信息科学，2012，28（1）：29-34.

[2]白建军.基于椭球面三角格网的数字高程建模[D].中国矿业大学，2005.

[3]赵学胜.基于QTM的球面Voronoi 数据模型[M].北京：测绘出版社，2004.

[4]胡鹏.地球信息的度量空间和Global GIS[J].武汉大学学报：信息科学版，30（4）：317-321，2005.

[5]罗广祥.全球等面积四叉树离散格网建模与编码体系研究[J]. 武汉大学学报：信息科学版37（10）：1252-1259，2012.

[6]白建军，赵学胜，陈军.基于线性四叉树的全球离散格网索引[J]，武汉大学学报：信息科学版，30（9）：805-808，2005.