广泛联想 融会贯通

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题目：已知动圆过定点A（4，0）， 且在y轴上截得的弦MN的长为8. （Ⅰ） 求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ） 已知点B（-1，0）， 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P、Q. 若x轴是∠PBQ的角平分线， 证明直线l过定点.（2013年高考陕西理科数学第20题）

解析：（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为（x，y），则（4-x）2+（0-y）2=42+x2，整理得y2=8x，故所求动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x .

（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b，联立y2=8x，y=kx+b，消去y得，k2x2+2kbx+b2=8x？圯k2x2-（8-2kb）x+b2=0（其中>0），x1+x2= a，x1・x2= .

设P（x1，kx1+b），Q（x2，kx2+b）. 若x轴是∠PBQ的角平分线，则kQB+kPB= + =

= = =0，即k=-b.故直线l的方程为y=k（x-1），直线过定点（1，0）.

探究1： B点是否具有任意性，即若设B（a，0）（a

解析：同上有kQB+kPB= + =

= = =0，即ka-b=0，故直线l的方程为y=k（x+a），直线过定点（-a，0）.

于是得到结论1：已知点B（a，0）（a

探究2：若将点B和抛物线方程都一般化， 即若设抛物线方程为y2=2px（p>0），点B（a，0）（a

解析：设直线l的方程为y=kx+b，联立y2=2px，y=kx+b，消去y，得k2x2+2kbx+b2=2px？圯k2x2-（2p-2kb）x+b2=0（其中>0）. 设P（x1，kx1+b），Q（x2，kx2+b）. 若x轴是∠PBQ的角平分线，则kQB+kPB= + =

= = =0，即ka-b=0. 故直线l的方程为y=k（x+a），直线过定点（-a，0）.

于是得到结论2：已知点B（a，0）（a0）交于不同的两点P、Q.若x轴是∠PBQ的角平分线， 则直线l过定点（-a，0）.

探究3：将抛物线向椭圆类比，即若设不垂直于x轴的直线l与椭圆 + =1（m>0，n>0，m≠n）交于不同的两点P、Q，点B（a，0）（a>m），x轴是的∠PBQ角平分线， 结论是否成立？

解析：设直线l的方程为y=kx+b，联立 + =1，y=kx+b，消去y得（n2+m2k2）x2+2m2kbx+m2（b2-n2）=0（其中>0）.设P（x1，kx1+b），Q（x2，kx2+b）.

若x轴是∠PBQ的角平分线，则kQB+kPB= + = =

=- =0，即km2+ab=0.故直线l的方程为y=k（x- ），直线过定点（ ，0）.

于是得到结论3：设不垂直于x轴的直线l与椭圆 + =1（m>0，n>0，m≠n）交于不同的两点P、Q，点B（a，0）（a>m）.若x轴是∠PBQ的角平分线，则直线l过定点（ ，0）.

探究4：将抛物线向双曲线类比，即若设不垂直于x轴的直线l与双曲线 - =1（m>0，n>0）交于不同的两点P、Q，点B（a，0）（a>m），x轴是∠PBQ的角平分线， 结论是否成立？

解析：设直线l的方程为y=kx+b，联立 - =1，y=kx+b，消去y，得（n2-m2k2）x2-2m2kbx-m2（b2+n2）=0（其中>0）.

设P（x1，kx1+b），Q（x2，kx2+b）. 若x轴是∠PBQ的角平分线，则kQB+kPB= + =

= =- =0，即km2+ab=0.故直线l的方程为y=k（x- ），直线过定点（ ，0）.

于是得到结论4：设不垂直于x轴的直线l与双曲线 - =1（m>0，n>0）交于不同的两点P、Q，点B（a，0）（a>m），.若x轴是∠PBQ的角平分线，则直线l过定点（ ，0）.

显然结论3、4的定点坐标与结论1、2的定点坐标不同.

探究5：对探究3进行逆向思考、类比猜想、合情推理等混合联想得到下列结论5.

结论5： 若椭圆方程为 + =1（m>0，n>0，m≠n）点B（a，0）（a>m），过点B作椭圆的两条切线，则两切点确定的直线方程为x= .

解析：设直线y=k（x-a），与椭圆相切，联立 + =1，y=k（x-a），消去y得（n2+m2k2）x2-2m2k2ax+a2m2k2-m2n2=0.由=0得m2k2+n2=k2a2，解得x1=x2= = .于是两切点确定的直线方程为x= .

以上我们从一道高考题出发，通过解析原题、广泛联想得到5条新结论. 在整个探究过程中， 融观察、类比、猜想、证明于一体，三种圆锥曲线的内在规律融会贯通，数学知识与方法的和谐美、统一美尽现其中. 这给我们的启示是： 高考题往往具有代表性、典型性、示范性和拓展性，备考中恰当地选用于研究性复习，对提高自身的思维层次和思维水平都有巨大的作用.

（作者单位：安徽省太湖中学、潜山野寨中学）

责任编校 徐国坚