由“一”到“无限”

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[摘要] 见一叶而知森林,窥一斑而知全貌。在数学上,抓住一个数,一个点,一条线,一个图形等一个元素,整个数学问题往往就能迎刃而解。

[关键词] 一 无限 数学

见一叶而知森林,窥一斑而知全貌,在数学上,抓住一个数,一个点,一条线,一个图形等一个元素,整个数学问题往往就能迎刃而解。

一、一个数

例题1.已知,ab=1,则b/a+1 +a/b+1=

此题解法较多,比较繁的方法是通分计算得结果为1,若直接令a=1,b=1,则迅速知结果为1,当 a,b 再取其它任意两个互倒数时,也可推知结果为1,相比之下,显然直接令a=1,b=1简单。

例题2.已知,等腰三角形周长为10cm,腰长为xcm,底边长为ycm,写出y与x的函数关系式。

此题很简单,但解题方法不简单,抽象的方法是将自变量x当作已知数,求得结果,此为未知当已知的方程思想方法的应用,但对于学困生来说,难以理解,怎么办?

方法二是令x=1,y=10-2×1;令x=2,y=10-2×2……当x取其它任意数x时,易知:y=10-2x,而“y=10-2x”就是此题的解题结果。这种方法对求复杂的、难度大的函数关系式时特别有效。多次应用,即使是学困生,也自然能领悟、会用方程思想方法解决这种问题。

二、一个点

例题3.作线段AB关于点O对称的线段A’B’。

先看点A这一个点关于点O的对称点怎么作,这是关键,务必弄清楚,并使学生切实掌握(方法是连接AO并延长到点A’,使OA’ =OA,点A’就是点A关于点O的对称点),其它无数个点的对称点要不要一一作出呢?不需要,只要再把B点的对称点按上述方法作出即可。实际上,图形的平移、旋转、翻折、放缩等变换,都可以先抓住一点,先变换,再及其余,就可以了。

例题4.已知:如图1 ,直线 y=kx+b,经过点(2,0),则当 x时, y> 0。

此题是一次函数部分的难点题,首先,告诉学生,y>0,要看x 轴上方的图象,这部分图像对应的x的范围就是问题的答案。很多学困生就是不理解,看不懂图像,怎么办?

那么,我们可以在函数图像上取代表性的一个点,如图,在直线 y=kx+b上取点P,点P对应两个实数a,b,a为P点横坐标x,b为P点纵坐标y,然后,将P点在 x轴上方的图像上运动(学生凭想象可以完成这一任务),则实数a,b随之运动,自始至终b>0,即y> 0,满足了题目的要求,那么a 的范围怎样呢?a

例题5.已知:如图2,直线L,及其同侧的两点A,B,在直线L上找一点P,使PA+PB最短。

一条老问题了,作出点A关于直线L的对称点A’,连接A’B,与直线L的交点即为点P。但如何说明点P即为所求的点呢?关键是,在直线L上除了P点外的无数点中,任意取一点Q,证出QA+QB>PA+PB,就可以了。此时,通过对称,学生不难证出。由于点Q是任意的,因而PA+PB最短。

三、一条线

例题6.证明:直径是圆中最长的弦。

分析:如图3,O中非直径的弦有无数条,任意取一条非直径

的弦CD,设法证出AB>CD,连接OC,OD,则学生可轻松解决问题。在圆中,用类似的方法可解决的问题很多,如过圆内的一点最短弦、最长弦问题,圆周角定理的证明等。

四、一个图形

例题7.已知:如图4,正方形ABCD的边长为4cm,等腰直角三角形EFG的直角边的长为4cm,点B与点G重合,点F、B、C在一条直线上,若正方形ABCD固定不动,将直角三角形EFG向右平移xcm(0

分析:应该说,在运动过程中有无数个瞬间,但归结起来是两类,每一类我们可以画出一个瞬间的对应图形,如图5 ,如图7,而图6是图5,图7的特例,这样一来,以静制动,以一代“无限”,很容易求得与图5对应的函数关系式为:y=1/2x2 (0

这里要特别注意,图像的两个端点是空圈,因为 x≠0,x≠8,所以取不到这两个点,这是个细节,必须注意这两个“一”。而(4,8)这一个点,对应图6的情形!

由上可知,无论是一个数、一个点、一条线,还是一个图形,抓住了这个“一”,往往就抓住了问题的“本质”,抓住了问题的“细节”,解题思路就清晰了,整个问题解决起来也就容易了。在教学中,我们要注意应用这个解题的策略。

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