克莱姆法则的几种证明方法
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇克莱姆法则的几种证明方法范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
关键词：克莱姆法则；行列式；矩阵；线性方程组
克莱姆法则在线性方程组理论研究上具有十分重要的作用，它不仅给出系数行列式不等于零的n元线性方程组有唯一解的条件，而且还将线性方程组的系数与常数项组成的行列式与解之间的关系简洁明了的表示出来。克莱姆法则，如果线性方程组
a■x■+a■x■+…+a■x■=b■a■x■+a■x■+…+a■x■=b2 ………………a■x■+a■x■+…+a■x■=b■ （*）的系数行列式D=a■ a■ … a■a■ a■ … a■… … … …a■ a■ … a■≠0，则线性方程组（*）有唯一解xj=■（j=1，2，…，n），其中
Dj=a■ … a■ b■ a■ … a■a■ … a■ b■ a■ … a■… … … … … … … a■ … a■ b■ a■ … a■.克拉姆法则的证明可以分两步：第一步证明解的存在性，即证明xj=■（j=1，2，…，n）是线性方程组（*）的解，第二步证明解的唯一性，即证明xj=■（j=1，2，…，n）是线性方程组（*）的唯一解。本文就解的存在性和解的唯一性分别列出了三种不同的证明方法，在这三种方法中各选一种即可证明克莱姆法则.
一、解的存在性
证法一：将Dj按第j列展开得Dj=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj（j=1，2，…，n）.ai1■+ai2■+…+ain■=■[ai1（b1A11+b2A21+…+bnAnl）=■[b1（ai1A11+ai2A12+…+ainAln）+…+bi（ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin）+ai2（b1A12+b2A22+…+bnAn2）+…+ain（b1A1n+b2A2n+…+bnAnn）]+…+bn（ai1An1+ai2An2+…+ainAnn）]=■[0+…+biD+0+…+0]=bi.这说明xj=■（j=1，2，…，n）是线性方程组（*）的解.
证法二：验证xj=■（j=1，2，…，n）是线性方程组（*）的解，只需证明ai1■+ai2■+…+ain■=bi（i=1，2，…，n）为此，考虑有两行相同的n+1阶行列式bi a■ … a■b1 a■ … a■… … … …bn a■ … a■，显然，它的值为零，把它按第一行展开，由于第1行aij的代数余子式为（-1）1+j+1b1 a■ … a■ a■ … a■… … … … … … … b■ an1 … a■ a■ … a■=（-1）j+2（-1）j-1Dj=-Dj，所以，0=biD-ai1D1-…-ainDn，即ai1■+…+ain■=bi（i=1，2，…，n）
证法三：将线性方程组（*）写成矩阵形式：AX=b，因为 D=A=a■ a■ … a■a■ a■ … a■… … … …a■ a■ … a■≠0，所以x=x■x■x■=A-1b=■A■b=■A■ A■ … A■A■ A■ … A■… … … …A■ A■ … A■b■b■b■=■b1A■+b2A■+…+bnA■b1A■+b2A■+…+bnA■┆b1A■+b2A■+…+bnA■=■D■D■D■=■D■D■D■因此xj=■（j=1，2，…，n）是线性方程组（*）的解
二、解的唯一性
证法一：设x1，x2，…，xn是线性方程组（*）的解，则有a■x■+a■x■+…+a■x■=b■a■x■+a■x■+…+a■x■=b■ ………………a■x■+a■x■+…+a■x■=b■用D中第j列的元素的代数余子式A1j，A2j，…，Anj依次乘这几个等式，再把它们相加，得（■a■A■）x■+…+（■a■A■）xj+…+（■a■A■）x■■bkAkj，即Dxj=Dj，于是xj=■，故xj=■（j=1，2，…，n）是线性方程组（*）的唯一解.
证法二：设x1，x2，…，xn是线性方程组（*）的解，按行列式的性质，有Dxj=a■ … a■ a■xj a■ … a■a■ … a■ a■xj a■ … a■… … … … … … … a■ … a■ a■xj■ a■ … a■把上述行列式的第1列，…，第j-1列，第j+1列，…，第n列分别乘以x1，x2，…，xj-1，…，xj+1，…，xn加到第j列上，行列式的值不变，即Dxj=
a■ … a■ ■a■xj a■ … a■a■ … a■ ■a■xj a■ … a■… … … … … … … a■ … a■ ■a■xj a■ … a■=
a■ … a■ b■ a■ … a■a■ … a■ b■ a■ … a■… … … … … … … a■ … a■ b■ a■ … ann=Dj.因D≠0，故xj=■（j=1，2，…，n）是线性方程组（*）的唯一解.
证法三：D=A≠0，A的行阶梯形矩阵A的秩为n，故线性方程组（*）的有唯一解.
参考文献：
[1]刘金旺，夏学文.线性代数（修订版）[M].上海：复旦大学出版社，2008：17-18.
[2]同济大学数学教研室.工程数学——线性代数[M].北京：高等教育出版社，1982：21-22.
[3]陈维新.线性代数简明教程[M].北京：科学出版社，2007：27-28.
[4]周勇，朱砾，骆先南，等.工程数学[M].上海：复旦大学出版社，2010：20-21.
基金项目：湖南省教育厅课题（09C565）
作者简介：胡清洁（1973-），男，湖南常德人， 副教授，从事应用数学研究；陈玉（1973-），女，湖南常德人，讲师，从事应用数学研究。