对培养学生数学问题表征能力“三部曲”分析

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“问题表征是指根据问题所提供的信息和自身已有的知识经验,发现问题的结构,构建自己问题空间的过程,也是把外部的物理刺激转变为内部心理符号的过程”.数学问题表征能力就是指能够准确表征数学问题的程度,这种表征能力的高低决定着学生数学理解能力的发展水平.因此,在数学教学中,要加强学生数学问题表征的训练,创设展示学生进行问题表征的情境,开展合理表征的辨析,提升问题表征质量,发展学生数学问题表征能力.本文试从“训练表征表达——展示表征过程——交流多维表征”三个层次阐述培养学生数学问题表征能力的途径.

一、训练学生问题表征的表达能力,提高问题表征的准确性

着名心理学家西蒙指出:“表征是问题解决的一个中心环节,它说明问题在头脑里是如何呈现的,如何表现出来的.”问题表征从形式上来看可分为两种:一种是内在表征,即学习者将外在的问题信息转化为头脑中内在的命题形式,其外在的表现就是学习者能用自己的语言陈述问题的条件和目标;另一种是外在表征,即将问题以文字、符号、图形、图表、模型等具体形式表示出来.其外在表征常见的几种形式:语言表征、符号表征、图形表征和情境表征等.因此,在课堂教学中教师要注重引导学生把握表征取向,加强问题表征的表达训练,提高问题表征的准确性.如在学生数学概念形成的教学阶段,教师要有针对性地创设情境,使问题表征尽可能和数学概念原型相匹配,帮助学生加深对数学概念的理解和促进学生对数学知识的建构.

问题1:在函数单调性教学中,教师应当有意识地运用多元表征理论展示其多种不同的表征形式,让学生了解数学问题表征的特点和主要形式,进行问题表征的表达训练,让学生逐步掌握问题表征的要领,促进学生建立数学概念的多元表征和深层次理解函数单调性.以函数f(x)=-2x为例,阐述其在区间[1,+∞)上的单调性(单调增函数),组织学生进行图形、语言和符号等表征形式的训练,提升学生问题表征的表达能力.

图形表征:函数f(x)=-2x在区间[1,+∞)上的图象是上升的(如图1).

这种表征便于从整体上以图形的方式直观地描述函数单调性.

语言表征:当x在区间[1,+∞)上取值时,随着x的增大,相应的f(x)值也随着增大.这种表征有利于“函数单调性”这一抽象概念被学生感知和理解.

有效追问能激发学生进行深层次思考,通过辨析和反思,对单调增函数的内涵有了更透彻的理解,要确保函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,除了“函数y=g(x)和y=h(x)在各自范围中都是增函数”外,还要满足“g(1)≤h(1),即(a-2)×1-1≤0”.此时,可以重新让学生进行问题表征.所以理解题意是正确表征的基础,把握数学概念的内涵和外延是理解题意的前提.

通过问题表征的专题说题训练,不仅可以提高学生表达问题的表征能力,而且还能使学生对数学问题的表征形成直觉和积累经验,从而提高学生对问题的深层理解能力和问题表征能力.

二、展示学生问题表征的思维过程,提高问题表征的合理性

问题表征作为解题过程的起点,对数学问题作出的表征是否恰当、合理,对数学问题能否有效解决有着重大且直接的影响.在教学中,大部分教师只注重学生的思维结果,而忽视学生对问题表征的思维过程,从而导致学生对数学问题的认识处于浅层次的理解.因此,在将数学问题展现给学生的时候,要注重创设学生思考、探究问题的时空,为学生问题的解决提供“问题表征”的充足时间,同时还要重视展示学生问题表征的思维过程,分析表征中的错因,提取和激活其合理成分,让学生自觉对其思维过程做出调整,修正、完善问题表征.学生中常见的两种“颇有争议”的数学表征:

学生中常见的两种“颇有争议”的数学表征:

学生表征1的错因是对集合的代表元素的含义理解得不透彻,导致问题表征出错.学生表征2的错因是没有认识到集合M与N中的x和y并不是指某个具体的值,而是变量.求交集的实质就是要找出两个集合中一样的“y”值,但是两个集合中一样的“y”值不一定是由相同的“x”产生.

通过展示学生问题表征的思维过程,引发学生进行思维交锋,让学生在辨析、争论中调整、修改和完善数学问题的表征,逐步形成合理的数学表征.求M∩N的实质就是求集合M与N中一样的“y”值,集合M与N中“y”分别表示二次函数y的取值范围.故

M∩N={y|y≤2}∩{y|y≥0}={y|0≤y≤2}

在问题解决过程中,随着自主探究、交流等数学活动的展开,获得信息的不断积累,学生会结合自身储存的信息(知识与经验)主动地重构问题表征,其数学表征往往从不恰当表征过渡到合理表征,为解题思路寻找到突破口.

三、创设问题多维表征的交流平台,提高问题表征的灵活性

问题多维表征是解题思路产生的源泉,正确的语言表征是理解问题的前提条件,准确的符号表征是问题解决的信息储存和加工过程的有效表现形式,适当的图表表征有助于问题的形象直观思考,合理的模式表征有助于简约问题解决的思维长度.在教学过程中,教师要运用启发性提示语:“你能否根据自己的联想用适当的方式将问题进行重新表征?”“在遇到困难的情况下,你能否变换问题的表征形式,调整解题思维方向?”激活学生原有的知识块,通过联想,诱发学生进行多维表征,并能根据解题的需要与情境的变化做出灵活的转换.

(这种表征,学生马上联想到运用求导方法或基本不等式方法进行求解.)

(这种表征,学生自然会想到运用基本不等式进行求解,但要引导学生注意等号成立的条件.)

表征4:从图形表征考虑,由反比例函数及图象平移知识可知,(m-2)(n-1)=4(m>2,n>1)表示双曲线一支(如图2),令m+n=s,则其表示斜率为-1的直线.于是原问题转化为“直线m+n=s与曲线(m-2)(n-1)=4(m>2,n>1)有公共点时,求s的最小值.”

这种表征,学生很快就会从图象中发现,当直线与曲线相切时,s有最小值.

由此可知,由于对同一数学问题的表征方式不同,使得问题解决的难易程度及效果也不同,适宜的问题表征可以减少运算量,缩短思维过程,优化解题过程.因此,通过对数学问题的多维表征的交流,让学生把握各种表征的特性与局限性,辨析数学问题的实质,相互启迪思维,提高学生思维的灵活性,进而获得合理的解题方案.

总之,在数学教学中,首先,教师要引导学生积累知识与数学活动基本经验,丰富学生的知识与经验,为提高学生数学问题理解和表征能力奠定坚实的基础;其次,教师要注重开发学生的元认知,增进学生的元认知体验,促进学生学习迁移能力的发展;最后,教师要把握数学表征能力的四个层次:复现式的表征能力、转述式的表征能力、分析式的表征能力和概括式的表征能力,有计划、有目的地进行问题表征的训练活动,发展学生数学语言转换能力,深化数学问题表征能力的培养.