找寻知识背后的思想方法

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“松下问童子，言师采药去，只在此山中，云深不知处. ”初读无所获，再读有指向（意在言外）. 在数学国度里，我们时常会有“似曾相识”而又不可及的感觉，这是源于没有思考指向（思想方法）. 只有抓住问题的本质，洞察真正的指向，方能学得顺心、做得顺意. 于此可见，累积数学思想方法显得尤为关键和至关重要.

一、 分析和综合的思考方法

经历“中心对称图形（一）”的学习，我们已经认识了本章图形的一些性质和获得了一些结论，是通过“做”的方式得到的. 事实上，仅凭直觉经验得来的结论有时是靠不住的，还必须经过严密的推理，才能让我们的认识到达一个理性层面. 源于此，课本特设了两个栏目“思考与表述”、“证明的途径”. 前者告诉我们“怎么想”和“怎么写”，后者引导我们逐步学会综合的思考方法. 怎么想是分析过程，怎么写是有条理的表达过程，两者是互逆思维. 其实，寻找证明思路的过程就是交替地运用分析和综合的思考方法的过程，不仅仅是单向思维，常常需要从两个方向思考：“证明结论，需要什么条件？”“从已知条件可以推出哪些证明结论所需的事项？”（即由因索果和执果索因）这样有利于探索并获得证明的思路. 这些思考方法是我们学好本章内容必须具备的思维品质. 思想方法总是与具体知识共生共长，不是凭空产生的. 于是，我们继续站在五个基本事实的平台上，经历观察、操作、实验、猜想、归纳、验证、说理等活动过程，习得了等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质以及平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定、等腰梯形的性质和判定. 在交流证明思路的过程中，我们要考虑证明的出发点（源头）和过程（路径），缜密地完成证明过程.

二、 分类的思想方法

例如探索一个矩形、菱形是正方形的条件，可以分为：有一个角是直角的菱形是正方形、有一组邻边相等的矩形是正方形；还可以通过对角线分类：对角线垂直的矩形是正方形、对角线相等的菱形是正方形. 按照“对称性”可将图形分为轴对称图形和中心对称图形. 常见的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、筝形；常见的中心对称图形有：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆.

分类有助于我们把握问题的本质，了解研究对象的共性和差异，分类是探索数学研究对象性质的有效途径. 特别是对于几何图形的分类，有利于培养几何的直观性和思维的层次性.

三、 转化、类比的思想方法

在学习“等腰三角形的判定”时，通过回忆将一个等腰三角形剪出等腰梯形的过程，引导我们感受将一个有待推证的问题转化为可证的问题，是解决问题的一个重要策略. 其实，研究四边形问题，常常要把它转化为研究三角形的问题，这就把一个有待解决的新问题转化为我们会解的问题. 我们在研究梯形的中位线性质时，类比三角形中位线的性质；在证明梯形中位线的性质定理时，是通过添加辅助线，把梯形中位线转化为三角形的中位线.

事实上，转化、类比的思想方法是我们获得新知的重要途径. 有理数运算就是通过引入绝对值的概念，将它转化为算术运算；通过引入相反数和倒数的概念，将有理数的减法和除法运算分别转化为有理数的加法和乘法运算；整式加减的实质就是通过同类项的概念转化为有理数的加减即化式的运算为数的运算. 解一元一次方程的过程，就是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数等操作步骤，将所给方程转化为最简方程的过程. 解一次方程组的过程就是用代入消元或加减消元，将“多元”转化为“一元”的过程. 还有，我们类比分数学习分式、类比一元一次方程学习一元一次不等式等.

四、 正难则反的思想方法

本章多处渗透了“正难则反”（也称“反证法”）的思想. 穿插在课本中的阅读栏目“倒过来想”、“生活中的一些判断与推理”就是一种逆向思考方法，有助于我们更好地理解“正难则反”的本质.

在研究角平分线的性质时，就是借助简单的数学事例（“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上. ”你认为这个结论正确吗？）说明运用反证法也是获得结论正确性的一种重要方法，进而从侧面帮助我们理解“角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上”这一性质.

“举反例”的方法，能帮助我们在比较和区别中体会反证法的含义. 比如：你认为“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”这个结论正确吗？为什么？显然，这个结论是错误的. 因为等腰梯形中一组对边平行，另一组对边相等，而等腰梯形不是平行四边形. 又如：为了深化我们对“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的理解，给出了“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”的问题推证，借助反证法的“三段论”形式（假设……，那么……. 所以……）获得结论的合理性（具体推证过程是：假设四边形是平行四边形，那么其对角线必然互相平分，这与条件“对角线不互相平分”矛盾. 所以该四边形不是平行四边形）. 这些反例都有助于我们切实理解反证法的原生本质和意义所在，为我们提供了反常规的思考方法.

五、 从“一般”到“特殊”和从“特殊”到“一般”的方法

矩形、菱形具备了平行四边形的一般性质外，还具有自身的特殊性质（矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角）；正方形具有平行四边形的一般性质，还具有矩形和菱形的特殊性质. 事实上，特殊图形具有一般图形的性质和它的特殊性质，一个图形越特殊，它的判定需要的条件就越多. 比如判定一个四边形是正方形的方法可以是“对角线互相平分且相等且垂直的四边形是正方形”，也可以是“四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形”.

我们知道，四边形和平行四边形的中点四边形都是平行四边形；矩形和等腰梯形的中点四边形都是菱形；菱形的中点四边形是矩形；正方形的中点四边形仍是正方形. 但不可以认为中点四边形是菱形的，原四边形就是矩形，因为等腰梯形的中点四边形也是菱形；同样不可以认为中点四边形是正方形的，原四边形就是正方形，因为一般四边形只要它的对角线垂直且相等，则其中点四边形就是正方形；显然，一个对角线相等的四边形，其中点四边形就是菱形；一个对角线垂直的四边形，其中点四边形就是矩形. 我们在探索中发现了一系列连接各边中点得到的四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系有关，从中可以体会到在图形的位置关系、数量关系从“一般”到“特殊”的变化中，常常伴随着图形从一般到特殊的变化，关注图形的这一变化规律有利于我们深入、全面地认识图形的性质.

思想方法是具体知识的灵魂，唯有内化，才能获得“万变不离其宗”的方法. 既然“身在此山中”，何愁“云深不知处”？可见，找到思想方法，就找到了问题解决的关键.