开篇:润墨网以专业的文秘视角,为您筛选了一篇高三数学模拟试卷(三)范文,如需获取更多写作素材,在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享!
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.设集合A={x|x=5-4a+a2,a∈R},B={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则A,B的关系是 .
2.已知x∈R,i为虚数单位,若(1-2i)(x+i)=4-3i,则x的值等于 .
3.某路段属于限速路段,规定通过该路段的汽车时速不得超过70km/h,否则视为违规扣分.某天,有1000辆汽车经过了该路段,经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示,则违规扣分的汽车大约为 辆.
4.(1+tan10°)(1+tan12°)(1+tan33°)(1+tan35°)= .
5.某商场国庆期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过500元,不享受任何折扣,如果顾客购物总金额超过500元,则超过500元部分享受一定的折扣优惠,按下表折扣分别累计计算:
可以享受折扣优惠金额折扣率
不超过500元的部分5%
超过500元的部分10%
某人在此商场购物获得的折扣金额为35元,则他购物实际所付金额为 元.
6.已知ABC中,AB边上的高与AB边的长相等,则ACBC+BCAC+AB2BC・AC的最大值为 .
7.等腰RtABC中,斜边BC=42,一个椭圆以C为其中一个焦点,另一个焦点在线段AB上,且椭圆经过A,B两点,则该椭圆的离心率为 .
8.点P在曲线y=x3-x+23上移动,在点P处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是 .
9.已知点Q∈(x,y)x2+y224,如果直线l:ax+y+2=0经过点Q,那么实数a的取值范围是 .
10.设函数f(x)=sin(x+φ)(>0,-π2
①它的图像关于x=π12对称;
②它的图像关于点(π3,0)对称;
③它的周期是π;
④在区间[-π6,0)上是增函数.
以其中两个论断作为条件,余下论断作为结论,写出一个你认为正确的命题: .
11.已知函数f(x)=|lg|x||,(x≠0)0,(x=0),则方程f2(x)-f(x)=0所有非零实根之积为 .
12.若数列{an}满足a1=2,a2=1,且an+1(an-1-an)=an-1(an-an+1)(n≥2),那么该数列的第10项为 .
13.P为半径为1的圆外一点,过P引圆的两条切线,切点为A、B,则PA・PB的范围为 .
14.已知函数f(x)=ax3-3x+1对于x∈(0,1],总有f(x)≥0成立,则a的范围为 .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.
15.(本小题满分14分)
如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,AA1=2a,点D为BC的中点,点E为CC1上的点,且CE=14CC1.
(1)求三棱锥BAB1D的体积;
(2)求证:BE平面ADB1.
16.(本小题满分14分)
(1)已知p在[0,5]上随机地取值,求方程x2+px+p4+12=0有实数根的概率.
(2)先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b.设函数f(x)=|x-a|,函数g(x)=x-b,令F(x)=f(x)-g(x),求函数F(x)有且只有一个零点的概率.
17.(本小题满分15分)
某航模兴趣小组的同学,为了测定在湖面上航模航行的速度,采用如下办法:在岸边设置两个观察点A、B,且AB=80米,
当航模在C处时,测得∠ABC=105°和∠BAC=30°,经过20秒后,航模直线航行到D处,测得∠BAD=90°和∠ABD=45°.请你根据以上条件求出航模的速度.(答案保留根号)
18.(本小题满分15分)
已知数列{an}满足an>0,a1=1,且3a2n+1-2an+1-3a2n-2an=0,n∈N.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5,…,a2na2n+1,求Tn;
(3)令bn=1an-1an(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若Sn
19.(本小题满分16分)
已知椭圆的中心在原点,准线方程为x=±4.如果直线l:3x-2y=0与椭圆的交点在x正半轴上的射影恰为椭圆的焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l与椭圆在第一象限的一个交点为P,F是椭圆的右焦点,试探究以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系;
(3)把(2)的情况作一推广,提出如下问题:如果椭圆的方程是x2a2+y2b2=1(a>b>0),P是椭圆上的任意一点,F是椭圆的一个焦点,试探究以PF长为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.
20.(本小题满分16分)
设函数f(x)=lnx-x-1x(x≥1),g(x)=2(x-1)-(x2+1)lnx(x≥1).
(1)求证:f(x)和g(x)在[1,+∞)上均为减函数;
(2)设b>1,证明不等式:2b2+1
数学Ⅱ(附加题)
1.已知变换T把平面上的点A(2,0),B(3,1)分别变换成点A′(2,1),B′(3,2),试求变换T对应的矩阵M.
2.经过曲线C:x=3+3cosθ,y=3sinθ(θ为参数)的中心作直线l:x=3ty=3t(t为参数)的垂线,求中心到垂足的距离.
3.已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=12an・(4-an),n∈N.
(1)求a1,a2;(2)证明an
4.(本小题满分10分)
已知an=A1n+A2n+A3n+…+Ann(n∈N),当n≥2时,求证:
(1)an-1+1=ann;
(2)(1+1a1)(1+1a2)(1+1a3)…(1+1an)≤3-1n.
参考答案
1. A=B; 2. 2; 3. 110; 4. 4; 5. 1065;
6. 22; 7. 6-3; 8. [0,π2)∪[3π4,π);
9. (-∞,-14); 10. ②③①④; 11. 1;12. 15; 13. [22-3,+∞); 14. [4,+∞).
15.(1)解:AB=AC=a,∠BAC=90°,点D为BC中点,B1B=C1C=A1A=2a,CE=14CC1=a2.
SABD=12SABC=12(12AB・AC)=14a2,
VBAB1D=VB1ABD=13SABD・BB1=13・14a2・2a=16a3.
(2)证明:由AB=AC,点D是BC的中点,
得ADBC且B1B平面ABC,则B1BAD,从而AD平面B1BCC1.
又BE平面B1BCC1,所以ADBE.
由已知AB=AC=a,∠BAC=90°,得BC=2a.
在RtBB1D中,tan∠BB1D=BDBB1=12BCBB1=24.
在RtCBE中,tan∠CBE=CEBC=a22a=24.
于是∠BB1D=∠CBE,设EB∩DB1=G,
∠BB1D+∠B1BG=∠CBE+∠B1BG=90°,
则DB1BE.又AD∩DB1=D,
故BE平面ADB1.
16.解:(1)由Δ=p2-4(p4+12)≥0得p≤-1或p≥2
又p∈[0,5]
p∈[2,5]
方程有实数根的概率为35.
(2)先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36.
函数F(x)有且只有一个零点
函数f(x)=|x-a|与函数g(x)=x-b有且只有一个交点
所以b
满足条件的情况有a=2,b=1;a=3,b=1,2;a=4,b=1,2,3;a=5,b=1,2,3,4;a=6,b=1,2,3,4,5.共1+2+3+4+5=15种情况.
函数F(x)有且只有一个零点的概率是1536=512
17.解法一:在ABC中,∠BAD=90°,∠ABD=45°,∠ADB=45°
AD=AB=80,BD=802
在ABC中,BCsin30°=ABsin45°
BC=ABsin30°sin45°=80×1222=402
在DBC中,∠CBD=∠ABC-∠ABD=105°-45°=60°,DC2=DB2+BC2-2DB・BCcos60°=(802)2+(402)2-2×802×402×12=9600
DC=406
航模的速度V=40620=26(米/秒)
答:航模的速度为26(米/秒).
解法二:在ADC中,AD=80,ABC中AC=40(1+3),∠DAC=60°
在ACD中,DC2=AD2+AC2-2AD・ACcos60°=9600
DC=406
航模的速度V=40620=26(米/秒)
答:航模的速度为26(米/秒).
解法三:如图建立直角坐标系,
则A(0,0),B(80,0),D(0,80)
由ABC,AC=40(1+3),C(60+203,20+203)
DC=(60+203)2+(20+203-80)2=9600=406
航模的速度V=40620=26(米/秒)
答:航模的速度为26(米/秒).
18.解:(1)由3a2n+1-2an+1-3a2n-2an=0,变形得(an+1+an)(an+1-an-23)=0,
又an>0,则an+1-an=23
{an}是以23为公差的等差数列
又a1=1,an=23n+13
(2)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1
=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2n(a2n-1-a2n+1)
=-43(a2+a4+…+a2n)
=-43・n(53+4n3+13)2=-49(2n2+3n)
(3)当n≥2时,bn=1an-1an=1(2n3-13)(2n3+13)=92(12n-1-12n+1)
又b1=3=92(1-13),
Sn=b1+b2+…+bn
=92(1-13+13-15+…+12n-1-12n+1)=92(1-12n+1)=9n2n+1
Sn
即9n2n+1
且9n2n+1
最小正整数m=2013.
19.(1)设椭圆方程是x2a2+y2b2=1(a>b>0).直线3x-2y=0与椭圆的一个交点的坐标是(c,3c2)代入椭圆方程得:c2a2+9c24b2=1,又a2c=4,a2=b2+c2,可解得a=2,b=3,c=1.所以椭圆方程为x24+y23=1.
(2)由(1)知,直线3x-2y=0与椭圆的一个交点的坐标是(1,32),F(1,0),则以PF为直径的圆的方程是(x-1)2+(y-34)2=916,圆心坐标为(1,34),半径为34.以椭圆长轴为直径的圆的方程是x2+y2=4,圆心坐标为(0,0),半径为2.圆心距为54=2-34,所以两圆内切.
(3)设P是椭圆上的任意一点,F是椭圆的一个焦点,F′是椭圆的另一个焦点,则有|PF|+|PF′|=2a.以PF为直径的圆的圆心是M,M的半径为12|PF|,O半径为a,两圆圆心距为|OM|=12|PF′|=a-12|PF|,所以两圆相切.
20.(1)因为f′(x)=1x-x-(x-1)・12xx=-(x-1)22xx,
当x∈[1,+∞)时,f′(x)≤0,且不恒为零,所以f(x)在[1,+∞)上为减函数.又g′(x)=-[2xlnx+(x-1)2x],当x∈[1,+∞)时,2xlnx≥0,(x-1)2x≥0,所以g′(x)≤0,且不恒为零,所以g(x)在[1,+∞)上为减函数.综上可知,f(x)和g(x)在[1,+∞)上均为减函数.
(2)因为b>1,又f(x)在[1,+∞)上为减函数,所以f(b)
附加题
1.解:设M=abcd,则有M:
20x′y′=abcd・20=2a2c=21,解得a=1c=12;
M:31x′y′=abcd・31=3a+b3c+d =32,
解得b=0,d=12;综上,M=101212.
2.解:由曲线C的参数方程
x=3+3cosθ,y=3sinθ消去参数θ,
得(x-3)2+y2=9.
曲线C表示以(3,0)为圆心,3为半径的圆.
由直线l的参数方程x=3ty=3t,
消去参数t,得y=33x.
表示经过原点,倾斜角为30°的直线.
如图,在直角三角形OCD中,OC=3,∠COD=30°,
所以CD=32.所以中心到垂足的距离为32.
3.解:(1)a0=1,a1=12a0(4-a0)=32,a2=12a1(4-a1)=158,
方法一:用数学归纳法证明:
1°当n=0时,a0=1,a1=32,a0
2°假设n=k时有ak-1
则n=k+1时,
ak-ak+1=12ak-1(4-ak-1)-12ak(4-ak)
=2(ak-1-ak)-12(ak-1-ak)(ak-1+ak)
=12(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).
而ak-1-ak0,ak-ak+1
又ak+1=12ak(4-ak)=12[4-(ak-2)2]
n=k+1时命题正确.
由1°、2°知,对一切n∈N时有an
方法二:用数学归纳法证明:
1°当n=0时,a0=1,a1=32,0
2°假设n=k时有ak-1
令f(x)=12x(4-x),f(x)在[0,2]上单调递增,所以由假设有:f(ak-1)
即12ak-1(4-ak-1)
也即当n=k+1时,ak
所以对一切n∈N,有ak
4.解:(1)因为Akn=n!(n-k)!=n・(n-1)![(n-1)-(k-1)]!=nAk-1n-1(2≤k≤n),
所以当n≥2时,ann=1n(A1n+A2n+…+Ann)
=1n[n+(nA1n-1+…+nAn-1n-1)]
=1+(A1n-1+…+An-1n-1)=1+an-1.
所以an-1+1=ann.4分
(2)由(1)得an-1+1an-1=annan-1,即1+1an-1=annan-1,
所以(1+1a1)・(1+1a2)・(1+1a3)・…・(1+1an)=a22a1・a33a2・a44a3・…・an+1(n+1)an
=an+1(n+1)!=1(n+1)!(A1n+1+A2n+1+…+An+1n+1)
=1n!+1(n-1)!+…+12!+11!+1
≤1n(n-1)+1(n-1)(n-2)+…+11×2+2
=(1n-1-1n)+(1n-1+1n-2)+…+(1-12)+2
=3-1n.10分
[另法:可用数学归纳法来证明1n!+1(n-1)!+…+12!+11!+1≤3-1n]