改变习题教学方式积累基本活动经验
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学生每天都离不开做题，教师也离不开讲题。讲题就是为了让学生理解知识、巩固知识，希望以后再遇到这样的问题学生会做。要让学生真正弄懂，下次还会做题，每种题型必讲不可，因此简洁精练、干脆利索、速战速决成了数学教师讲题的一大特色。可是随着新课标的修订，基本数学思想和基本活动经验的提出，教师该如何在解题教学中顺应这种发展和变化？如何通过习题印证和体现它们的重要性及价值呢？基于这些思考，我们进行了如下的尝试。
一、活动需要的应运而生
“一块长30cm，宽25cm的长方形铁片，从四个角各切掉一个边长为5cm的正方形，然后做成盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？”这是五年级下册长方体和正方体单元的习题。以往的教学中，教师们遇到这样的题目就会在黑板上画图讲解：从剪了四个角的长方形向上折起来变成长方体后，四个角相邻的两条边长合在一起组成了长方体的一条高。因此剪掉的正方形的边长就是长方体的高，每条长边和宽边余下的部分就是长方体的长和宽，这样就可以继续计算长方体的体积和表面积了。讲台上，教师结合图形和动作讲解得很是认真，一些学生表示听懂了，可是还有不少学生只是盯着老师看而不表态，接下来的书面作业自然反馈出没有几个学生真正弄懂了。
现在遇到这样的题目，教师心中就有数了，让学生动手做一个这样的无盖长方体盒子是一件很容易的事情，何乐而不为呢？学生动手做一做比教师在黑板上讲解要生动得多，也更利于学生进行观察思考。我带的学生学习这个知识的时候正好家庭作业中就有这样的一道题，当时我担心一些基础差、家长辅导不了的孩子无法解题，决定还是教师先示范做一个这样的无盖盒子，让学生初步了解盒子是怎么做出来的。接着引导学生观察后思考：长方体盒子的高跟什么有关系，长和宽各是多少。在教师操作和提问的过程中，一部分学生能很快发现并回答问题。对一些回答不出来、看得还不够清楚的学生，教师要求他们回家模仿做这样的盒子，弄明白了再做题。第二天上课时学生告诉我，长方体盒子的高原来就是剪掉的小正方形的边长，长和宽分别是原来长方形的长和宽减去两个高的长度。这样一来，无盖盒子的表面积和体积计算就迎刃而解了，孩子们觉得题目相当容易。
二、活动价值的深入探究
2012年4月，在长沙市片区的说题比赛中，我们又深入研究了这道习题。难道教师为学生提供的动手活动就是为了帮助他们解题吗？如果不是，那又是为了什么呢？“讲题并非只为做题”是我要阐述的观点，说题内容大致如下——
原题：一块长方形铁片，从四个角各切掉一个边长为5cm的正方形（如图所示），然后做成盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？
这道题从问题出发进行分析，学生能明白求这个盒子用了多少铁皮就是求盒子的表面积，接下来求容积也不难。与以往的题目不同，这里没有提到这个盒子的形状，只有长方形的长和宽以及从四个角切掉边长为5cm的正方形这些已知条件，那么盒子的具体数据跟这个被切掉四个角的长方形之间又有什么关系呢？
接下来师生一起动手，用一张长30cm、宽25cm的长方形纸做这个盒子。做的目的在于引导学生发现盒子的长、宽、高与原来长方形的关系。师生一起将剪好的图形折成一个无盖的长方体盒子，用彩笔标画出它的长、宽、高。画好后再将无盖的长方体展开恢复成原来的形状。通过观察，学生可以发现盒子的长是30cm剪去2个5cm，宽也是如此，而高正好是减去的小正方形的边长5cm。有了这3个数据，盒子的容积就可以求出来了。求盒子的表面积可以有多种方法，一般而言，学生习惯用直观的方式求无盖长方体的表面积，也就是求5个面的面积总和。在这里，教师可以让学生多做几遍折盒子和展开盒子的活动，这样的活动可以帮助空间观念不强的孩子发现，减去四个角的图形就是折成的盒子的表面积，它的面积等于原来的大长方形剪去4个小正方形的面积。有了这样的方法做指导，学生很快发现了求这个盒子表面积的其他方法，也就是以前学过的求组合图形的面积的方法。
原题做到这里，我们可以发现主要是进行基础知识和基本技能的训练，活动过程中也注重基本活动经验的培养，但是基本数学思想并未得到更好的渗透。如何拓展原题，让基本数学思想得以丰富和凸显，让学生在思考的过程中得到能力的培养与发展呢？
原题拓展：小丽准备用一块长方形硬纸片做一个无盖的长方体收纳盒。要使这个收纳盒的容积尽可能大，那么在四个角上剪去的小正方形的边长应为多少厘米？
为了引导学生很好地解决问题，教师可以从剪去的小正方形的边长（高）是1cm开始，应用列表法探究高的变化引起长、宽及其容积的变化之间的关系。而研究这些数据之间的变化关系，也就是向学生初步渗透函数思想。
在列表计算的过程中，当算到高是3cm时，学生可以发现容积随着高的增加而增加。我们可以暂时停下来引导学生思考，当高再增加时，盒子的容积会发生什么变化？可是当算到高是5cm时，学生很诧异，为什么盒子的容积突然变小了，再继续往下算还是变小。从表格中学生可以发现，剪下的正方形的边长是4cm时，做成的长方体的容积最大，但学生一定还想弄明白这其中的奥秘，于是我们利用课件进行演示，数形结合，帮助他们理解其中蕴含的关系。
从课件的演示中可以看到，当剪下的小正方形的边长（高）逐渐变长时，长方体的容积也在逐渐变大。由于长方形的长和宽是一定的，所以当边长（高）继续增加时，长和宽就会减少，容积也就逐渐变小。当学生理解了它们之间的关系之后，教师还可以补充这样的问题：这个盒子的高有没有限度，它最长可以是几厘米？如此一来，学生对这里的长、宽、高的关系会理解得更清晰、透彻。在小学阶段渗透函数思想，可以使学生了解一切事物处于不断变化的过程中，而且在变化过程中互相联系、互相制约，这对培养学生分析和解决问题的能力有着极其重要的作用。
对这样的题目进行练习，可以较好地与新课标提出的“四基”结合起来，并不仅仅是为了让学生学会做题，而是通过这样的练习，为学生提供有效的学习活动，从具体到抽象，逐步引导学生探索数学知识，解决数学问题，积累基本活动经验，掌握有效地解决问题的策略。
三、活动研究的实证
该说题获得了片区比赛的一等奖，但这仅仅是一种思考、一种研究，算是纸上谈兵吧。如何证明这样的活动有利于学生的思维发展和能力培养？如何证明学生确实需要这样的基本活动经验？实证与研究会有多大的出入？能否达到预设的理想效果？我们以急切的心情亟待解决这些问题。
暑假期间，我们利用湖南省“生活数学”夏令营活动的机会，决定针对五年级学生的数学活动，把题目设计得再放开一些，看看来自湖南省各地市的孩子们对这个知识会如何思考，会有什么样的表现。
活动主题：“我来设计容积最大的无盖长方体盒子”（预计20分钟）。
每组需准备的工具：
老师准备材料：A4纸（每组分发10张A4纸）。
学生准备材料：透明胶，剪刀，尺子，草稿纸，笔。
分组情况：10个同学一组，每组选派一名组长，其余9人每3人一小组。
提供的数据：A4纸长29.7厘米，宽21厘米。
活动操作方式：本活动分为“动手设计容积最大的无盖长方体盒子”和“展示我们组最大的长方体盒子”两个环节。
活动环节一：小组成员合作，在规定的20分钟内，用A4纸制作出容积最大的无盖长方体盒子，每个小组仅有10张A4纸可尝试。
活动环节二：选择你们制作的最大的长方体盒子，每个小组派一名成员展示并讲解容积最大的依据。
制作后还要填写相关的答题卡。
答题卡：做最大的长方体盒子
活动一开始，学生很快投入其中。在巡视的过程中，我们发现孩子们的想法各不相同，即使是同一地区、同一学校的孩子都有不同的尝试方法。
有的学生一开始就问：剪下的部分能不能再补回图形当中？（这样做确实能让盒子的容积更大，也说明提问的孩子熟悉这方面的知识或有过类似的活动经历。考虑到时间有限和计算比较麻烦，统一意见不要将剪下的部分补回图形之中）
有的孩子不明白长方形纸如何能制作成无盖的盒子，就尝试将长边和宽边朝上折，发现要做成盒子必须剪下一些多余的部分（如下图）。而剪下来的一角正好是一个正方形。
有的孩子可能对书上的知识还有点印象，但是记不清在长方形纸的四个角是分别剪下一个长方形还是正方形，可以做成无盖的盒子，所以就先尝试剪下四个长方形，折起来后发现盒子一边高一边低（如下图），才悟到应该在四个角分别剪去一个相同大小的正方形。
也有的孩子一开始就拿着纸在算，算什么呢？算当高是1厘米时，盒子的容积是多少？高是2、3、4厘米时，容积又是多少？因为A4纸的长度是一位小数，计算起来确实挺麻烦的。
前面的5分钟几乎都是每个孩子独立思考，5分钟过后小组成员叽叽喳喳地讨论起来，剪刀、透明胶频繁派上用场。20分钟时间一到，两位老师检查学生的作品，让每个小组提供认为容积最大的无盖长方体盒子以及答题卡。用长29.7厘米、宽21厘米的长方形纸制作的无盖长方体盒子高是4厘米（取整厘米数）时容积最大。19个参赛组全部完成任务，成功做出了无盖的长方体盒子。有15个组交上的作品高都是4厘米，4个组交的作品高是5厘米，如果靠目测，高是5厘米的盒子看起来比高是4厘米的盒子大一些，所以如果不经过数据的计算和对比，可能会觉得高是5厘米的盒子容积最大。
因为活动时间有限，而且答题卡和作品已经很好地展示了孩子们的思考过程，我们没再安排学生讲解说明容积最大的依据。从一步步的尝试，有了一点点的启发和收获，再通过交流意见、统一看法，计算并找出容积最大的盒子，这些过程完成起来确实有一定的难度。在做方案的时候，我们几个教师确定活动时间订在20分钟，估计有的组能做出符合要求的作品，有的组可能完成不了，但是活动结束有那么多的组能交出如此完美的答卷，完全出乎意料。不仅孩子们兴奋不已，各地领队教师都高兴地说这样的活动太有价值了，学生的知识和智慧得到了充分的体现。看来孩子们比我们想象的更聪明能干，更具有挑战困难和突破困难的能力。
《数学课程标准》修订稿的负责人史宁中教授曾谈到，“数学的基本活动经验，简单地说，就是教师创造一些背景，鼓励学生‘从头到尾’思考问题。从开始就思考问题，这是很重要的。”“基本活动经验是想培养数学的直观，是思维的经验，是指会想问题，会从头想问题。”因此，让我们放下心中的各种顾虑，相信学生，鼓励学生，解开他们被牵引已久的内心世界，让他们的学习掌握在自己的手中。这样学生的基本数学思想和基本活动经验才能逐步形成，学生才能积蓄充足的学习资源、具备足够的信心面对一切学习困难。
（作者单位：长沙市开福区清水塘二小）