中学数学最值问题的常用解决方法

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在实际生活与生产实践中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少（调运方案择优一次函数类型，用配方法形成顶点式的二次函数最值问题等）、路程最短、材料最省、数与式当中的最值问题，以及全国数学奥林匹克竞赛当中的最值问题等最值问题类型，这些问题我们称之为最值问题，采用常见的数学思想有：方程与函数思想、数形结合思想、整体思想、等价转化思想、化归思想，以及中学常用的数学方法： 运用非负数的性质、利用不等分析逼近求解、使用几何公理、定理、性质、空间问题平面化等数学思想方法解决数学领域及生活实际当中的最值问题，培养学生学会用数学眼光去观察、分析、解决问题，引导学生学会知识迁移，能利用相关知识解决实际问题，不断优化解法.增强学生的数感以及解决问题的建模意识与能力。

根据中学数学教材编辑体系与撰写特点，常见最值问题分为数式型最值问题、几何型最值问题、函数型最值问题 。

一、数式型最值问题

（一）整除中最小公倍数法求最值

例1、设自然数x，y，m，n满足条件，则x+y+m+n的最小值是_____. （湖北省黄冈市竞赛题）

思路点拨 把连等式拆开用，用一个字母的代数式表示另一个字母，利用隐含整除条件，分别求出x，y，m，n的最小值.

解：1157 提示：x=y，m=y，n=m=y，因25│y，8│y，故y有最小值200.

（二）利用完全平方式的非负性质求最值

例1、设a、b、c满足a2+b2+c2=9，那么代数式（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2的最大值是（  ）. A.27 B.18 C.15 D.12

（全国初中数学联赛题）

思路点拨 利用乘法公式及完全平方式的非负性质，把代数式变形成与已知条件关联的式子，进而求出最大值.

解：选A 提示：原式=3（a2+b2+c2）-（a+b+c）2≤27

（三）配方法求最值

例1、当 x=___时，且y=____时，代数式的最大值为________。（2005年6月攀枝花学院学报第22卷第3期教育论坛：初中数学中常见的“最值”问题及解法）

解：=-（x2+2x+1）-2（y2-4y+22）+4

=-（x+1）2-2（y-2）2+4，因此，当x= ―1时，且y= 2 时，代数式的最大值为4。

二、几何最值问题

（一）利用几何中“两点之间线段最短”及轴对称相关知识，借助数形结合思想、整体思想求最值

例1、（2008.深圳）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是 。（江胡阳.超越中考数学配人教版 内蒙古大学出版社）

解：先找A点（0，3）关于X轴的对称点A1（0，-3），连接A1 B交X轴于点C， 连接AC。则C为奶站时，它到A、B两点的距离之和最小。即为

直角坐标系下的两线段之和最短问题，解决这类题的方法关键就是将两线段之和的长度展直用一条线段的长度来代替（通过一次作对称点，连结对称点与另一点来实现）达到将问题转化。利用两点间的距离公式就迎刃而解了。

（二）化隐为显，将立体空间里较为抽象的最短问题转化为平面里较为直观的最短问题。

例1、如图（1），已知圆柱体底面圆周的半径为，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是_________（结果保留根式）. （.cn网2008第二十四章圆一章单元检测题）

分析： 因为是小虫从A沿圆柱表面爬行，要求最短路径可将圆柱侧面展开如图（2）所示的矩形，显然沿连接AC的线段爬行是最短路线.

解：如图（2），所求最短路线为线段AC的长度，

所以所求的最短路线为.

笛卡尔说过：“数学是使人变聪明的一门学科”.数学思想方法是数学的精髓，是数学精神和科学世界观的重要组成部分，需要长期培养，经常应用，潜移默化，解决数学最值问题的数学思想方法的培养也是如此.本文提出了解决数学最值问题的一些常见数学思想方法，但如何帮助学生走出怕解决最值问题的困境，充分调动他们学习的积极性，还有许多具体工作要在平常的数学教育教学实践中落实.重点在于多情感投资，让更多的学生喜欢上我这个人，进而喜欢上我教的这门学科。变“我努力地教”为“学生愿意积极主动的学” 变“我努力地教会一些方法”为“学生愿意积极主动探究发现一些新的方法、寻求解决问题的最简最优方法” ！在解决数学最值问题的空间里寻求达到学习最佳效益的一些常见策略，为社会进步出力，为终生学习奠基。