均值不等式应用四注意
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利用两个正数的算术平均数和几何平均数之间的关系，求某些非二次函数的最大、最小值问题时需注意以下四点：
一、注意“正”
“正”是指均值不等式成立的前提条件是各项均为正实数，若不是正实数，必须变为正实数.
例1 求函数y=
x+1x的最值.
错解：
y=x+1x
≥2x•1x=2
, 所以函数的最小值为2.
错因分析：因为函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），当x＞0时，可利用均值不等式求最小值，但当x＜0时，应将各项化为正，才可利用均值不等式求解.
正解：当x＞0时，
y=x+1x
≥2x•1x
=2
；当
x
-x>0，-x-1x>2，所以
x+1x
≤-2.
所以y=x+1x没有最大值、最小值.
二、注意“定”
“定”是指用均值不等式求最值时，和或积应为定值，这时，常常要运用拆项、补项、平衡系数等变形技巧.
例2 若
x
，求
y=1-4x+15-4x
的最小值（补项）.
解：因为x
54 ， 所以
4x
，即：
5-4x>0.
所以y=5-4x+15-4x
-4≥
2
(5-4x)(15-4x)
-4=-2.
当且仅当
5-4x=15-4x
，即x=1时等号成立（因为
32>
54
，所以x=32舍去）
所以当x=1时，y有最小值-2.
例3 求函数y=4x2(1-x) (0
解：因为
，所以1-x>0,
所以y=4x2(1-x)=
16•12x•12
x(1-x)≤
16
［12x
+12x+
(1-x)3］3
=1627.
当且仅当
12
x=1-x
，即
x=23
时，取“=”号. 所以当
x=23
时，y有最大值
1627
.
例4 若0
解：因为
1-x>0.
所以y=x•(3-3x)=3x•(1-x)≤
3×
［x+(1-x)2］2=
34.
当且仅当x=1-x，即
x=12时，等号成立.所以当
x=12时， 有最大值
34.
点评：求最值问题时，首先应明确求乘积的最大值还是和的最小值，若是求最大值，只需根据条件恰当变形出现和为定值，若是求最小值，只需使积出现定值.
三、注意“等”
“等”是指利用均值不等式求最值时，要注意探求等号是否成立，即等号成立的条件是否具备，若等号不成立，则不是最值，若等号成立，才是最值.
例5 求函数y=
x2+k+1
x2+k
的最小值.
错解：因为
x2+k≥0，所以
y=x2+k+1
x2+k
=x2+k
+1x2+k
≥2
, 所以
ymin
=2.
错因分析：忽视了等号成立的条件.事实上，当
x2+k
=1x2+k
时，
x2=1-k
，而当k>1时，等号不成立.
正解：（1）当k≤1时，
y=x2+k
+1x2+k
≥2
， 所以
ymin
=2.
（2）当k>1时，令
t=x2+k
≥k
，则易证
y=t+1t
在
［k,+∞)
上是增函数，
所以ymin
=k+1k.
综上
ymin
=
2 (k≤1)
k
+
1k
(k>1)
四、注意“同”
“同”是指得多次使用均值不等式时，等号成立条件中的变量的取值范围应相同.
例6 已知x>0，y>0，且
x+2y=1，求
1x
+1y的最小值.
错解1：因为
x+2y=1,
所以1x
+1y
=x+2y+1x
+1y
-1=
(x+1x
)+(2y+1y
)-1≥2+22
-1=1+22.
所以
1x+
1y的最小值为
1+22.
错因分析：在求解过程中使用了两个不等式：（1）是
x+1x≥2
；（2）是
2y+1y
≥2
.在（1）中，当且仅当
x=1x
时取等号；在（2）中，当且仅当
y=22
时取等号.当两式同时成立时，必须使
x=1，且
y=22
，此时x+2y=1+2≠1.所以此法不满足不等式取等号的条件.
错解2:因为x+2y=1，
所以1x
+1y
=(x+2y)(
1x
+1y)≥
22xy•
21xy
=42.
错因分析：在求解过程中用了两个不等式，（1）是
x+2y≥22xy
；（2）是
1x+
1y
≥21xy
.在（1）中当且仅当
x=2y时取等号，在（2）中当且仅当
1x=1y,
即x=y时取等号，而x≠0,y≠0,
从而x=2y与x=y不能同时成立.
正解：因为
x+2y=1,所以1x
+1y
=(x+2y)(
1x
+1y）=
1+xy
+2yx
+2≥3+22.
当且仅当
xy=
2yx，即
x2=2y2
，
x=2y
时取等号，此时
x=2
-1
，y=1-22 .
所以1x+
1y的最小值为
3+22.
练习：
1.下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是（ ）
（A）y=x+4x
（B）y=lgx+
1lgx
（C）y=x2+1
+1x2+1
（D）y=
sinx+
1sinx(0
2.设x>0，求y=
2-x-4x
的最大值.
3.若0
f(x)=x(1-2x)的最大值.
4.求函数y=3x2+
6x2+1的最小值.
5.求函数
y=sinx2
+2sinx
(0
的最小值.
答案：1.(D) 2.-2 3.
18
4.62-3
5.因为0
则：
y=2sinx
+sinx2
=12sinx
+sinx2
+32sinx
≥
212sinx•
sinx2
+
32sinx
=
1+32sinx
≥1+
32
=
52.
所以当sinx=1时，
ymin=
52.
甘肃省高台县第一中学(734300)