多通道信号自校正分布式融合Kalman滤波器

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摘 要： 对带未知参数的多传感器多通道自回归滑动平均（ARMA）信号，采用多维递推辅助变量（MRIV）方法得到自回归模型参数估值，通过Gevers?Wouters算法辨识滑动平均模型参数估值，再用相关方法得到噪声方差的估值。把所有的估值都代入到最优分布式融合信息滤波器中得到自校正分布式融合kalman信息滤波器。该滤波器具有渐近全局最优性，一个多通道信号仿真例子验证了其有效性。

关键词： 多通道ARMA信号； 多段辨识方法； 多重递推辅助变量法； 信息滤波器

中图分类号： TN911.7?34； O211.64 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）03?0061?04

Kalman filter of self?tuning distributed fusion for multi?channel signal

LIU Wen?qiang， HAN Na， GU Ze?yuan， TAO Gui?li

（Heilongjiang University of Science and Technology， Harbin 150022， China）

Abstract： For multisensor and multi?channel autoregressive moving average （ARMA） signal with unknown parameters， its autoregressive model parameter estimators are obtained by multi?dimensional recursive instrumental variable algorithm. The moving average model parameter estimators are identified through Gevers?Wouters algorithm， and the noise variances estimators are obtained with the correlation method. All of the estimators are substitute into optimal distributed fusion information filter to obtain self?tuning distributed fusion Kalman information filter， which has asymptotic global optimality. The effectiveness is verified through a multi?channel signal simulation example.

Keywords： multi?channel ARMA signal； multi?stage identification method； multidimensional recursive auxiliary variable method； information filter

0 引 言

近年来，广泛应用于很多高科技领域的多传感器信息融合Kalman滤波理论已经引起特别的关注，它主要研究信息融合状态估计问题或信号估计问题。最优信息融合Kalman滤波包括集中式融合和分布式融合方法。其中集中式融合是全局最优的，即集中式融合是把所有传感器观测方程合为一个高维数的观测方程，但是此时系统的观测方程维数有所增加，容错性能差，计算负担大。分布式融合有两种方法：信息矩阵[1]和加权方差方法[2]，其中加权方差分布式融合方法是全局次优的，而基于信息矩阵的分布式融合同集中式融合，也能得到全局最优的状态估计。对于最优信息融合Kalman信号滤波问题以往文献有很多报道，但是，系统的模型参数和噪声方差通常是完全或部分未知的。这种系统的滤波称为自校正滤波[3]。文献[4]针对单通道自回归（AR）信号提出了自校正集中式滤波器，但未解决多通道信号辨识问题。文献[5?6]对于多通道信号提出了自校正信息融合滤波器，但他们都不能解决自校正分布式信息滤波器问题。

为了克服以往文献的局限性，本文针对多传感器多通道ARMA信号，当模型参数和噪声统计全部未知时，应用多段信息融合辨识方法，其中利用MRIV方法求得AR模型参数，用Gevers?Wouters算法辨识滑动平均（MA）模型参数，用相关方法得到噪声方差融合估值器，把未知参数带到最优分布式融合Kalman信息滤波器得到多通道信号自校正分布式Kalman信息滤波器，该滤波器是渐近全局最优的。

1 全局最优的最优分布式信息融合Kalman

信号滤波器

考虑多传感器多通道ARMA信号：

[A（q-1）s（t）=C（q-1）w（t）] （1）

[yi（t）=s（t）+vi（t）， i=1，2，…，L] （2）

其中信号[s（t）∈Rm，]第[i]个传感器的观测[yi（t）∈Rm，][vi（t）∈][Rm]是观测噪声，[w（t）∈Rm]为输入噪声，[q-1]为单位滞后算子，[q-1s（t）=s（t-1）。][A（q-1）]与[C（q-1）]有形式[X（q-1）=X0+][X1q-1+…+Xnxq-nx，]其中[X0=Im，][Im]是[m×m]单位阵，[na]和[nc]分别是多项式[A（q-1）]和[C（q-1）]的阶次，且[na=nc]。假设[（A（q-1），C（q-1））]左素，初始时刻[t0=-∞]。问题是当[Ai，][Ci，][Qw]和[Qvi]均未知时，求渐近全局最优自校正分布式融合信号滤波器[ss（t|t）]。

假设1 [w（t）∈Rm]和[vi（t）∈Rm]分别是零均值、方差阵为[Qw]和[Qvi]的独立白噪声。

假设2 各传感器子系统是一致完全可观和一致完全可控的。

令[w（t）=w（t-1），]则[w（t）]有方差[Qw。]ARMA信号式（1）能够改写为[A（q-1）s（t）=C（q-1）w（t），]其中：[C（q-1）=C0+][C1q-1+…+Cncq-nc， ][C0=0，Ci=Ci-1，i=1，2，…，nc，nc=nc+1。]

系统（1）和（2）有状态空间模型：

[x（t+1）=Φx（t）+Γw（t）] （3）

[yi（t）=Hx（t）+vi（t）， i=1，2，…，L] （4）

[s（t）=Hx（t）] （5）

[Φ=-A1?Imna-Ana+10…0Γ=C1C2?Cnc+1H=Im0…0] （6）

其中[Aj=0（j>na），Cj=0（j>nc）]。集中式融合观测方程为[y（t）=Η0x（t）+v（t），]定义[y（t）=yT1（t）…yTL（t）T，H0=][HT…HTT，][v（t）=vT1（t）…vTL（t）T，]融合观测噪声[v（t）]有方差[Qv=diagQv1…QvL。]

引理1[7] 多传感器系统式（3）和式（4）有基于信息矩阵的局部Kalman滤波器：

[xi（t|t）=Ψi（t）xi（t-1|t-1）+Ki（t）yi（t）] （7）

[Ki（t）=Pi（t|t）HTQ-1vi] （8）

[Ψi（t）=Pi（t|t）Σ-1i（t|t-1）Φ] （9）

[P-1i（t|t）=Σ-1i（t|t-1）+HTQ-1viH] （10）

[Σi（t+1|t）=ΦPi（t|t）ΦΤ+ΓQwΓΤ] （11）

引理2[7] 多传感器系统式（3）和（4）在假设1和2下，全局最优分布式融合Kalman信号滤波器为：

[x（t|t）=Ψ（t）x（t-1|t-1）+P（t|t）i=1L[P-1i（t|t）xi（t|t）-Σ-1i（t|t-1）Φxi（t-1|t-1）]] （12）

[P-1（t|t）=Σ-1（t|t-1）+i=1L[P-1i（t|t）-Σ-1i（t|t-1）]] （13）

[Σ（t+1|t）=ΦP（t|t）ΦΤ+ΓQwΓΤ] （14）

[Ψ（t）=P（t|t）Σ-1（t|t-1）Φ] （15）

[s（t|t）=Hx（t|t）] （16）

2 未知参数的信息融合辨识

参数[Ai（i=1，2，…，na），][Ci（i=1，2，…，nc），][Qw]和[Qvi]都是未知的，信息融合多段辨识算法可以分为三段：

第1段，用多维递推辅助变量（MRIV）算法求自回归（AR）模型参数的局部和融合估计

由式和式（2）可得：

[A（q-1）yi（t）=C（q-1）w（t）+A（q-1）vi（t）] （17）

则式（17）可转化为AR模型：

[A（q-1）yi（t）=ri（t）] （18）

[ri（t）=C（q-1）w（t）+A（q-1）vi（t）] （19）

式（18）有最小二乘结构：

[yi（t）=φi（t）+ri（t）] （20）

[φTi（t）=[-yTi（t-1），…，-yTi（t-na）]]，[=[A1，…，Ana]] （21）

引理3[8] 对于多传感器多通道平稳AR模型（20），[]的多维递推辅助变量（RIV）局部估值器[i（t）]为：

[i（t）=i（t-1）+[yi（t）-i（t-1）φi（t）]φΤi（t）Pi（t-1）1+φΤi（t）Pi（t-1）φi（t）] （22）

[Pi（t）=Pi（t-1）-Pi（t-1）φi（t）φTi（t）Pi（t-1）1+φTi（t）Pi（t-1）φi（t）] （23）

[φi（t）=φi（t-na）] （24）

且带初值[i（t）=i0，][Pi（t0）=P0（k0）。][]的信息融合估值定义为[f（t）=1Li=1Li（t）=A1（t），…，Ana（t）。]

第2段，用Gevers?Wouters算法辨识[C（q-1）]和[Qw]

定义滑动平均（MA）过程：

[m（t）=C（q-1）w（t）] （25）

它的相关函数[Rm（k）=E[m（t）mT（t-k）]]为[Rm（k）=α=kncCαQwCTα-k，k=0，1，2，…，nc。]计算式（25）两边的相关函数有[Rm（k）=Rrij（k），]由式（18）在时刻[t，]观测过程[ri（t）]的估值定义为：

[ri（t）=A（q-1）yi（t）] （26）

观测[ri（t）]的采样相关函数估值定义为：

[Rtrij（k）=1tu=1tri（u）rTj（u-k）] （27）

它有递推形式：

[Rtrij（k）=Rt-1rij（k）+1tri（t）rTj（t-k）-Rt-1rij（k）] （28）

初值为[R1rij（k）=1tj=1tri（1）rTj（1-k）]。把估值[ri（t）]代入到式（28）得到估值[Rtrij（k）]，应用带死区的G?W算法[9]，能够得到局部的估值[Cuij（t）][（u=1，2，…，nc；i，j=1，2，…，L）]和[Qwij（t）。]基于所有传感器的信息融合估值为：

[Qw（t）=1L2i=1Lj=1LQwij（t），Cu（t）=1L2i=1Lj=1LCuij（t）] （29）

第3段，基于相关方法辨识[Qvi]

观测[ri（t）]的自相关函数[Rrii（k）=E[ri（t）rTi（t-k）]]为：

[Rrii（k）=α=kncCαQwCTα-k+β=knaAβQviATβ-k， k=0，1，2，…，nr，nr=max（Rrii（k）≠0）] （30）

对于不同的[k]，把采样估值[Rtrii（k）]，融合估值[Ai（t），][Ci（t）]和[Qw（t）]代入到式（30）解线性方程组就可以得到噪声方差估值[Qvi（t）]。

3 基于信息矩阵的自校正分布式融合Kalman

信号滤波器

将辨识得到的估值[Ai（t）]和[Ci（t）]代入到式（6）中得到[Φ（t）]和[Γ（t）]，融合观测噪声[v（t）]有噪声方差估值为[Qv（t）=diagQv1（t）…QvL（t）]，把所有的估值代到引理1可得到自校正分布式融合Kalman信息滤波器：

[xs（t|t）=Ψ（t）xs（t-1|t-1）+P（t|t）i=1L[P-1i（t|t）xsi（t|t）-Σ-1i（t|t-1）Φ（t）xsi（t-1|t-1）]] （31）

[P-1（t|t）=Σ-1（t|t-1）+i=1L[P-1i（t|t）-Σ-1i（t|t-1）]] （32）

[Σ（t+1|t）=Φ（t）P（t|t）ΦΤ（t）+Γ（t）Qw（t）ΓΤ（t）] （33）

[Ψ（t）=P（t|t）Σ-1（t|t-1）Φ（t）] （34）

[ss（t|t）=Hxs（t|t）] （35）

4 仿真例子

考虑多传感器多通道ARMA信号（1）和（2），[i=1，2，3。]其中[A（q-1）=I2+A1q-1，][C（q-1）=I2+C1q-1，][w（t）]和[vi（t）]是零均值，方差各为[Qw]和[Qvi]的相互独立白噪声，假设[A1，C1，Qw]和[Qvi]未知，求自校正分布式融合Kalman信号滤波器。在仿真中取：

[A1=-0.80-0.3-0.7，][C1=0.150-0.30.3，] [Qw=0.81001，][Qv1=0.1000.2，][Qv2=0.3000.49，][Qv3=0.4000.5]。

基于信息融合多段辨识方法，得到[A1，C1，Qw]和[Qvi]的信息融合估值，辨识结果如图1～图6所示，其中真实值用直线表示，融合估计用实曲线表示，[D（k，r）]表示矩阵[D]的第[（k，r）]个元素。图1所示为应用引理1得到[A1]的融合估值曲线，用Gevers?Wouters算法得到[C1]和[Qw]的融合估值如图2和图3所示，应用相关方法得到观测噪声方差[Qvi]的融合估值曲线如图4～图6所示。图7是误差曲线，说明最优分布式融合Kalman信号滤波器[s（t|t）=s1（t|t）s2（t|t）T]和自校正分布式融合Kalman信号滤波器[ss（t|t）=ss1（t|t）ss2（t|t）T]之间的误差趋于零。

图1 融合估值[A1（t）]的曲线

图2 融合估值[C1（t）]的曲线

图3 噪声方差[Qw]融合估值曲线

图4 噪声方差[Qv1]融合估值曲线

图5 噪声方差[Qv2]融合估值曲线

图6 噪声方差[Qv3]融合估值曲线

图7 最优和自校正分布式融合Kalman信号滤波器的误差曲线

5 结 语

本文对于多通道ARMA信号模型，提出了自校正分布式融合信息滤波器。该自校正分布式融合信息滤波器不需要求解Riccati方程，避免[mL×mL]矩阵[（H0Σ（t|t-1）HT0+Qv（t））]的求逆运算，其中[m=m1+…+mL，]而仅需要计算[mi×mi]矩阵的逆，计算量较小，且该自校正分布式信息滤波器是渐近全局最优的。

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