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一、选择题
1.已知集合P={x||x-2|
A.{x|
B.{x|
C.{x|2≤x
D.{x|x>1}
2.一个几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为()。
A.1
B.2
C.3
D.4
3.已知A(xA,yA)是单位圆上(圆心在坐标原点O)任意一点,将射线OA绕0点逆时针旋转30°到OB交单位圆于点B(XB,yB),则XA-yB的最大值为()。
4.某校高一(4)班有男生28人,女生21人,用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个调查小组,已知某男生被抽中的概率为,则抽取的女生人数为()。
A.l
B.3
C.4
D.7
5.已知α、β是两个不同的平面,有下列四个条件:①存在一条直线;②存在一个平面;③存在两条平行直线④存在两条异面直线那么可以推出的是()。
A.①③
B.②④
C.①④
D.②③
6.已知平面向量,若则的值为()。
7.函数f(x)=Asin(ωx+ψ)(A、ω>0)的图像如图2所示,为了得到g(x)=-Acosωχ的图像,可以将f(x)的图像()。
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
c.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
8.已知f(x)为偶函数,且f(x+4)=f(-x),当-3≤x≤-2时,则f(2015)一()。
二、填空题
9.若执行如图3所示的程序框图,则输出的a的值为______°
10.在平面直角坐标系中,设直线ι:与圆相交于A、B两点,。若点M在圆C上,则实数k=____。
11.集合M={f(x)|存在实数t,使得函数f(x)满足f(t+1)=f(t)+f(1)),有下列函数(a、b、c、k都是常数):①y=kx+b(k≠0,b≠O);②;③y-;④;⑤y=sinx。其中属于M的函数有______(只需填序号)
12.平面直角坐标系中,已知点A(1,-2)、B(4,0)、P(a,1)、N(a+l,1),当四边形PABN的周长最小时,过三点A、P、N的圆的圆心的坐标是_____。
三、解答题
13.已知m、z∈R,向量a=(x,-m),b=((m+1)x,x)。
(l)当m>0时,若|a|
(2)若a・b>l-m对任意实数x恒成立,求m的取值范围。
14.在平面直角坐标系xy中,已知圆,圆
(l)若过点C1(-l,0)的直线ι被圆C2截得的弦长为,求直线ι的方程。
(2)设动圆C同时平分圆Cl的周长、圆C2的周长。
①证明:动圆的圆心C在一条定直线上运动。
②动圆C是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由。
15.将52名志愿者分成A、B两组参加义务植树活动,A组种植150捆白杨树苗,B组种植200捆沙棘树苗。假定A、B两组同时开始种植。
(l)根据历年统计,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时,种植一捆沙棘树苗用时。应如何分配A、B两组的人数,使植树活动持续时间最短?
(2)在按(l)分配的人数种植1h后发现,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为,而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时,于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植,求植树活动所持续的时间。
16.定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>O,使|f(x)|≤M都成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界。已知函数
(l)当a=-l时,求函数f(x)在(一∞,0)上的值域,判断函数f(x)在(-∞,O)上是否为有界函数,并说明理由。
(2)若函数f(x)在[1,4]上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围。
参考答案与提示
1.B 提示:由P={x|l
2.A提示:由三视图可知:该几何体是一个直三棱柱(侧棱垂直于底面)。底面三角形是钝角三角形,其三边长分别为1、易得底面三角形的面积为。又三棱柱的高(侧棱长)为2,所以该几何体的体积
3.C 提示:由三角函数的定义,设则
4.B提示:由分层抽样的规则知每个学生被抽中的概率相等,均为,则抽取的女生人数为=3。
5.C提示:②中的平面α与β还可以相交。对于③,当a∥b时,不一定能推出α∥β。
6.B 提示:由=36-72+36=0,得0),则,故
7.B
提示:由图像可求得f(x)=,则将f(x)的图像向右平移个单位长度,可得g(x)的图像。
8.D提示:因为f(x)为偶函数,所以f(x+4)=f(-x)=f(x),因此4是函数f(x)的一个周期,故f(2015)=f(4×503+3)=f(3)=f(-3)=
9.提示:算法流程是:
10.±1 提示:=|0B|,则四边形OAMB是锐角为60°的菱形,此时,点0到直线AB的距离为1,即
11.②⑤ 提示:对于①,若k(t+1)+b=(kt+b)+(k+b),则b=O,与条件矛盾。
对于②,若,解得
对于③,由于函数为减函数,故不成立。
对于④,若整理得此方程无实数解。
对于⑤,显然f(0+1)=f(0)+f(1)。
12.提示:AB、PN的长为定值,当四边形PABN的周长最小时,|PA|+|BN|最小。
易得其几何意义为动点(a,o)到两定点(1,3)和(3,-1)的距离之和,易得三点共线,即a=5/2时,|PA|+|BN|取得最小值。
线段PN的中垂线x=3与线段PA的中垂线的交点即为所求圆心的坐标。
13. (1)
由|a|
解得或
(2)
由题意得对任意的实数x恒成立,即对任意实数x恒成立。
当m+l=0,即m=-1时,显然不成立。
则解得
14.(1)设直线ι的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0。易得圆心C2(3,4)到直线ι的距离为,解得或
故直线ι的方程为或,即4x-3y+4=0或3x-4y+3-0。
(2)①设圆心C(x,y)。
由题意得,即,化简得x+y-3=0,即动圆的圆心C在定直线x+y-3=0上运动。
②设C(m,3-m>。动圆C的半径为
动圆C的方程为
整理得
由,解或
所以动圆C过定点(-l,0)、(3,4)。
15.(1)设A组人数为x,且O
令f(x)-g(x),即,解得
所以两组同时开始的植树活动所需时间为
,F(19)>F(20),所以当A、B两组人数分别为20、32时,植树活动持续时间最短。
(2)A组所需时间为,B组所需时间为
,则植树活动所持续的时间为。
16.(1)当a=-1时,,则f(x)上(-∞,0)上单调递增,所以f(x)
不存在常数M>O,使|f(x)|≤M都成立,故函数f(x)在(-∞,O)上不是有界函数。
(2)若函数f(x)在[1,4]上是以3为上界的有界函数,则|f(x)|≤3在[1,4]上恒成立,即-3≤f(x)≤3,即,即,即在[1,4]上恒成立。
令,则
令,则
令,则
则实数a的取值范围为