巧用余弦定理

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余弦定理是解决有关三角形问题的有力工具，其实它还可用于非三角形问题的求解。在数学解题中，常会碰到形如“a2+b2±λab=c2”（a，b，c>0，0

题目：求cos270°+cos250°+cos70°cos50°的值

解：原式=sin220°+sin240°+sin20°sin40°

由：=+=2R（20°+40°+120°=180°构造三角形）

?sin20°=，sin40°=，sin120°=

原式=（a2+b2+ab）=（a2+b2-c2+ab+c2）=（2abcos120°+ab+c2）

==sin2120°=（此解法属于下文中的构造应用）

此法是通过构造三角形解题的，是什么让笔者想到构造三角形呢？答案是：式子中出现了形如“a2+b2-ab”的式子，这个式子自然也让笔者想到ABC中cosA=，通过笔者研究，遇见此类式子构造余弦定理解题不失是一种很好的解题方法，下面举例说明。

一、三角求值

例1：（1991年全国高中联赛）求cos210°+cos250°-sin40°sin80°的值

解：cos210°+cos250°-sin40°sin80°

=sin280°+sin240°-sin40°sin80°

=sin280°+sin240°-2sin40°sin80°cos60°

由此联想到余弦定理，易得原式=sin260°=

例2：（2009.全国卷1）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a2-c2=2b

且sinAcosC=3cosAsinC，求b

解：a2-c2=2b?b2+a2-c2=2b+b2=2abcosC?2+b=2acosC

sinAcosC=3cosAsinC?acosC=3ccosA

b=acosC+ccosA=・b=4

例3：在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c且A=80°，a2=b（b+c），求C

解：a2=b（b+c）?c2+a2-b2=bc+c2=2accosB?b+c=2accosB

sinB+sinC=2sinAcosB?sinB=sin（A-B）?B=40°，C=60°

二、解方程组

例4：正数x，y，z满足x2

++xy=25

+z2=9

x2+z2+xz=16求：xy+2yz+3xz的值

解：x2

++xy=25

+z2=9

x2+z2+xz=16?x2

+（）2-52+xy=0

（）2+z2-32=0

x2+z2-42+xz=16?

2x+（）cos150°+xy=0

2z（）cos90°-32=0

2xzcos120°+xz=0

可构造如下图1形状：

三、证明不等式

例5：正数a，b，c，求证：+>

分析：此题常规法有难度，但仔细审题发现，三个被开发式的结构相同与余弦定理结构类似，且所证不等式的整体结构类似于“三角形两边之和大于第三边”故构造如图3的三角形，于是一目了然

设：AD=b，BD=a，CD=c，∠ADC=∠BDA=∠BDC=120°

参考文献：

[1]黄喜.一道数学高考题的巧解及推广.数学通讯.2000（12）.