直观分析,巧解释疑

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《数学通讯》2004年第2，4期，楼可飞老师在例题“过双曲线的焦点的定长弦有多少条？”的解答中运用了“代数法”，分析得很透彻、精准，但我认为原文中的“代数法”虽然能够较好地解决问题，但繁琐又不易于操作.如巧妙地把“数形结合”的思想方法加以运用，则思路明晰，事半功倍.

原题：过双曲线2x-y-2=0的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线有多少条？

认识本题之前，我们不妨先从以下一些方面来认识“过焦点的弦的问题”.

1.立足基础，掌握双基

看下面两个引例，体会一下双曲线的两个基本性质――实轴长2a，通径d=的妙用.

引例1：过双曲线x-=1的右焦点F作直线l交双曲线的右支于A、B两点，则弦|AB|的最小值为?摇?摇?摇 ?摇.

分析：如图1，过右焦点F的弦AB和弦CD中，显然|AB|

结论1：过双曲线焦点的弦交双曲线于同一支时，则通径最短，且弦长为d=.

引例2：过双曲线x-=1的右焦点F作直线l交双曲线的不同支于M，N两点，则弦|MN|的最小值为?摇?摇?摇?摇.

分析：如图2，过右焦点F的弦MN和弦PQ，显然|MN|

结论2：过双曲线焦点的弦交双曲线于不同支时，则实轴长最短，且弦长为2a.

2.逆向思维，整合方法

结合引例及其结论，我们就不难解决本文开始的原题了.

分析：题目中未明确直线与双曲线交于同支还是异支，因此如图3，两种可能都有。又题目中弦长是已知的，那么我们就可以反过来考虑直线的可能性了.

解：（1）若交于右支，|AB|=d==4，则交于右支且符合条件的直线只有1条，并且就是通径；

（2）若交于异支，|AB|=4>实轴长2a=2，则交于异支且符合条件的直线有2条.因此，这样的直线一共有3条.

显然，只要把上面引例中的结论与方法进行整合，同时逆向地去思维，问题就迎刃而解了.下面的变式和例题由读者来试一试.

变式1：若改为“|AB|

解：|AB|

变式2：若改为“|AB|=2”呢？

解：|AB|=2a=2，直线有1条；

变式3：若改为“2

解：2=2a

变式4：若改为“|AB|>4”呢？

解：|AB|>d=4，直线有4条.

例3：过双曲线-y=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=5，则这样的直线有多少条？

例4：过双曲线x-y=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=2，则这样的直线有多少条？

3.深入浅出，提炼精华

如果上面的四个变式和两个例题你已经小试身手了的话，再把它们作一个比较和归纳，就可以得出下面的结论了.

过双曲线-=1（a，b＞0）的某焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=定值（定值大于0），则这样的直线有多少条？

结论：

（1）若a=b，则双曲线为等轴双曲弦，此时，2a=d，有以下3种情形：

1）当|AB|

2）当|AB|=2a（d）时，直线有2条；

3）当|AB|>2a（d）时，直线有4条.

（2）若a≠b，则双曲线为非等轴双曲弦，此时2a≠d，有以下5种情形：

1）当|AB|

2）当|AB|=min（2a，d）时，直线有1条；

3）当min（2a，d）

4）当|AB|=max（2a，d）时，直线有3条；

5）当|AB|>max（2a，d）时，直线有4条.

对于“过双曲线的焦点弦有几条？”这个问题，如果是选择、填空题，画个图，直观分析一下就可以了；如果是解答题，我们可先用它来检验一下直线到底有几条，做到心中有数，再用代数法去求解.

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