聚焦高考复数考点

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复数是初等数学与高等数学的重要衔接点，高考复数试题主要考查复数的概念、复数的加法与减法、复数的乘法与除法和数系的扩充． 2011年高考全国18套理科试卷都设置了复数考查试题，为了帮助同学们掌握好这部分内容，本文结合2011年高考题，对其主要考点进行分类解析．

一、 考查复数概念

例1 （安徽卷）设i是虚数单位，复数■为纯虚数，则实数a为（ ）

A. 2 B. -2 C. -■ D. ■

解析 ■=■・■=■， 又 ■为纯虚数，

2-a=0，2a+1≠0， a=2. 故选A．

点评 此类试题主要考查复数的相关概念（复数、虚数、纯虚数、共轭复数，复数的实部、虚部等）和复数的相关运算．处理有关复数概念的问题，首先可找准复数的实部与虚部（若复数为非标准代数形式，则应通过代数运算化为代数形式），然后根据定义解题．

二、 考查复数的几何意义

例2 （山东卷）复数z=■（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

解析 z=■=■=■=■-■i， 复数z对应的点的坐标为（■，-■），在第四象限． 故选D.

点评 复数实部、虚部的符号与其对应点所在象限密切相关，实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上．若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限；若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限；若实部为负且虚部为负，则复数对应点在第三象限；若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限．此外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式．如：对应点在直线x＝1上，则z＝1＋bi（b∈R）；对应点在直线y＝x上，则z＝a＋ai（a∈R），这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用．

三、 考查复数的模

例3 （辽宁卷）a为正实数，i为虚数单位，■=2，则a=（ ）

A. 2 B. ■ C. ■ D. 1

解析 ■=|1-ai|=■=2， 则a=±■，而已知a是正实数，则a=■. 故选B．

点评 复数z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内对应的向量■＝（a，b），其模为|z|＝■. 解决此类试题的一般步骤是：先整理复数，明确其实部与虚部，再借助复数模的计算公式求解．

四、 考查虚数单位的性质

例4 （福建卷） i是虚数单位，若集合S=｛-1，0，1｝，则（ ）

A. i∈S B. i2∈S C. i3∈S D. ■∈S

解析 因为i2=-1∈S， i3=-i?埸S， ■=-2i?埸S. 故选B．

点评 此类试题主要利用虚数单位的性质：i4k=1，i4k+1=i，i4k+2=-1，i4k+3=-i（k∈Z），进行相关的计算.

五、 考查复数相等的意义

例5 （江苏卷）设复数z满足i（z+1）=-3+2i（i是虚数单位），则z的实部是 ．

解析 设z=a+bi（a，b∈R），由i（z+1）=-3+2i，得-b+（a+1）i=-3+2i， a+1=2， a=1. 故填1.

点评 此类试题主要用待定系数法，化“虚”为“实”，利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化. 解题时可把等号两边的复数化为标准的代数形式．

六、 考查复数的四则运算

例6 （北京卷）复数■=（ ）

A. i B. -i C. -■-■i D. -■+■i

解析 ■=■=■=i. 故选A.

点评 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看做一类同类项，不含i的看做另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简形式，两个复数相除，类似于根式分母有理化．