第12讲 平面向量的数量积及其应用

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考情分析

平面向量数量积的运算、模与夹角、平行与垂直问题，多以选择题、填空题的形式出现属中低档题.数量积的几何运算与数量积的坐标运算及其几何意义，及数量积的变形应用均为常规应用，也是考查的重点.

纵观历年全国各地高考卷，考查的内容有：数量积运算及其性质、向量的模、向量的夹角、向量的投影、向量垂直.

再看湖北卷近几年高考情况，考试内容主要是数量积的坐标运算、坐标形式的求模公式、夹角公式或向量投影公式、坐标形式的向量垂直的充要条件，没有涉及数量积的几何运算.

命题特点

立足湖北，放眼全国. 综合近几年全国各地的高考卷，平面向量的数量积及其应用在高考命题中仍以稳中求新、稳中求活，在稳定中发展.稳定的是题目大多是以坐标形式出现，考查数量积的几何运算或坐标运算，发展的是向量知识的综合应用有所加强.

1. 数量积的坐标表示重运算、重基础

数量积的坐标运算的特点是注重基本概念和坐标形式的运算公式，注重考查运算能力.

例1 已知点[A（-1， 1）]，[B（1， 2）]，[C（-2， -1）]，[D（3，4）]，则向量[AB]在[CD]方向上的投影为 （ ）

A. [322] B. [3152]

C. [-322] D. [-3152]

解析 [AB=2，1]，[CD=5，5]，

向量[AB]在[CD]方向上的投影为

[AB・CDCD=2×5+1×552+52][=1552=322].

答案 A

点拨 两个坐标表示的向量的数量积就是对应坐标积的和，易错记为交叉坐标积的和.向量的投影是数量积中的一个重要概念，易混淆向量[a]在[b]方向上的投影与向量[b]在[a]方向上的投影这两个概念.前者是[acosθ]，后者是[bcosθ]，还易把投影当作向量，投影是数量，可正可负可为零.

例2 已知点[O0，0，A0，b，Ba，a3]，若[OAB]为直角三角形，则必有 （ ）

A. [b=a3]

B. [b=a3+1a]

C. [b-a3b-a3-1a=0]

D. [b-a3+b-a3-1a=0]

解析 由条件得，[a≠0]，[b≠0]，

所以[∠AOB]不可能是直角.

又[OAB]为直角三角形，所以[∠OAB]或[∠OBA]是直角，即[OA・AB=0]或[OB・BA=0].

又[AB=（a，a3-b）]，所以[b（a3-b）=0]或[a2+a3（a3-b）=0，]

化简得[b=a3]或[b=a3+1a].

答案 C

点拨 向量垂直与向量平行一样，也是一种重要的向量关系，在高考中出现的频率很高.向量是否垂直，一是通过几何法判断，二是通过向量法判断，看数量积是否为零.值得注意的是向量垂直则数量积为零，反之不成立.因为向量垂直是指两个非零向量的关系，零向量与任一向量的数量积为零.

2. 数量积及几何意义重运算、重应用

平面向量的数量积及几何意义，通常以两种方式出现，一是纯向量形式，二是以几何图形为载体，重点是数量积的运算.

例3 设[e1，e2]为单位向量，非零向量[b=xe1+ye2]，[x，y∈R].若[e1，e2]的夹角为[π6]，则[xb]的最大值等于 .

解析 由条件得，[b2=b2=（xe1+ye2）2]

[=x2+2xye1・e2+y2=x2+3xy+y2]，

因此[b2x2=1+3yx+y2x2][=yx+322+14≥14].

所以[bx]最小值为[12]，故[xb]的最大值为2.

答案 2

点拨 数量积是向量的一种运算，它的结果是数.理解数量积不仅要理解其含义，而且要理解其运算律，数量积满换律、分配律.无结合律，因为[（a・b）・c]不是数量积，[（a・b）?c]是向量；无消去律，因为[a・b=a・c（a≠0）]不能推出[b=c].向量的模即向量的大小，是向量的基本概念.向量的模的求法也有两种，一是借助几何图形求线段长度，二是通过向量运算求得.而向量运算求模有两个公式，一是向量式[a=a2]，二是坐标式[a=x2+y2]，[（x，y）]是向量[a]的坐标，这两个公式都应熟练掌握.

例4 在平行四边形[ABCD]中，[AD=1，][∠BAD=60°，][E]为[CD]的中点，若[AC・BE=1]，则[AB]的长为 .

解析 如图，[AC=AD+AB]，

[BE=BC+CE=AD-12AB]，

所以[AC・BE=][AD2+12AD・AB-12AB2]

=[1+12×1×AB×cos60°-12AB2]

[=1+14AB-12AB2=1]，解得[AB=12].

答案 [12]

点拨 有关几何形式的数量积运算，通常用基向量法，即选择一组基底，将问题向量用基底线性表示，运用数量积定义和运算法则，注意要充分利用平面图形的几何性质.

例5 设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=[14]AB，且对于AB上任一点P，恒有[PB・PC≥P0B・P0C]，则 （ ）

A. [∠ABC=90°] B. [∠BAC=90°]

C. [AB=AC] D. [AC=BC]

解析 由题意，设|[AB]|=4，则|[P0B]|=1，过点[C作AB]的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设[HP0=a]，则由数量积的几何意义可得，

[PB・PC=PH・PB=PB-（a+1）PB]，

[P0B・P0C=-P0H・P0B=-a]，

于是[PB・PC≥P0B・P0C]恒成立，

等价于[PB-（a+1）PB≥-a]恒成立，

整理得[PB2-（a+1）PB+a≥0]恒成立，

只需[?=（a+1）2-4a=（a-1）2≤0]即可，于是[a=1].

因此我们得到[HB=2]，即[H是AB]的中点，

故[ABC]是等腰三角形，所以[AC=BC]，选D.

答案 D

点拨 数量积的几何意义是：[a・b]等于[a]的模与[b]在[a]方向上投影之积，也可以等于[b]的模与[a]在[b]方向上的投影之积，实质上就是求数量积的一种新方法.在数量积的几何运算中，若能根据图形的几何性质，确定向量端点在另一向量上射影位置，用几何意义求数量积比较简单.

3. 向量应用重综合、重交汇

向量综合应用在高考中经常得到体现，一是内部知识的综合，二是与三角函数、立体几何、解析几何综合，近年来又出现与不等式、线性规划问题综合的情况，可见综合范围有扩大趋势.

例6 已知[a，b]是单位向量，[a・b=0].若向量[c]满足[c-a-b=1]，则[c]的取值范围是 （ ）

A. [2-1，2+1] B. [2-1，2+2]

C. [1，2+1] D. [1，2+2]

解析 法一：建立直角坐标系，设[a=（1，0），][b=（0，1），][c=（x，y）.]

由[c-a-b=1]得，[（x-1）2+（y-1）2=1].

令[x-1=cosθ]，[y-1=sinθ]，

则[x2+y2=（cosθ+1）2+（sinθ+1）2][=3+22sin（θ+π4）].

[-1≤sin（θ+π4）≤1]，

[3-22≤x2+y2≤3+22].

[c=x2+y2]，

[2-1≤|c|≤2+1].

法二：因[c=（a+b）+（c-a-b），]由绝对值三角不等式得，

[a+b-c-a-b≤c≤a+b+c-a-b].

即[2-1≤|c|≤2+1].

答案 A

点拨 本题是向量模的取值范围问题，考查向量知识和方法的综合应用.向量内部知识的综合，常出现向量的线性运算与数量积、平行与垂直、夹角与模的综合，考查方法有代数法与几何法.

备考指南

平面向量的数量积及其应用是平面向量的重点知识，在每年高考中都占有一席之地.因而在复习过程中，应以基础为主，从基本概念、基本运算、基本方法、基本应用出发，巩固知识，培养能力.

1. 对以前考查的热点，如向量坐标的线性运算或数量积，不能放松.模与夹角的计算，平行与垂直的判断，仍要熟练.

2. 对新增的热点，如向量的数量积的几何意义、向量的投影、向量的几何运算要引起重视.

3. 对向量的应用，除了在三角、立几、解几中的应用外，还要注意在不等式、线性规划、数列等方面的应用.

限时训练

1. 已知向量[a，b]，那么“[a・b=0]”是“向量[a，b]互相垂直”的 （ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2. 设[a，b]是两个非零向量，下列能推出[a=b]的是 （ ）

A. [a∥b] B. [a2=b2]

C. [a・c=b・c] D. [a=b]且[a，b]的夹角为0°

3. 已知向量[a=（4，3）]，[b=（-1，2）]，若向量[a+kb]与[a-b]垂直，则[k]的值为 （ ）

A. [233] B. 7

C. [-115] D. [-233]

4. 设[a，b]是非零向量，若函数[f（x）=（xa+b）・（a-xb）（x∈R）]的图象不是直线，且在[x=0]处取得最小值，则必有 （ ）

A. [ab]

B. [a∥b]

C. [a，b]不垂直且[a=b]

D. [a，b]不垂直且[a≠b]

5. 在四边形[ABCD]中，[AC=（1，2）]，[BD=（-4，2）]，则该四边形的面积为 （ ）

A. [5] B. [25]

C. [5] D. 10

6. [ABC]的外接圆的圆心为[O]，半径为2，且[OA+AB+AC][=0]，则向量[CA]在[CB]方向上的投影为 （ ）

A. [3] B. 3

C. [-3] D. -3

7. 设[a，b，c]是单位向量，且[a・b=0]，则[（a-c）・（b-c）]的最小值为 （ ）

A. [2-1] B. [1-2]

C. [-2] D. [2]

8. 如图，[ABC]的外接圆的圆心为[O]，[AB=2]，[AC=3，BC=7]，则[AO・BC]的值是 （ ）

A. [32] B. [52]

C. [2] D. [3]

9. 在边长为1的正六边形[ABCDEF]中，记以[A]为起点，其余顶点为终点的向量分别为[a1，a2，a3，a4，a5]；以[D]为起点，其余顶点为终点的向量分别为[d1，d2，d3，d4，d5].若[m，M]分别为[（ai+aj+ak）・（dr+ds+dt）]的最小值、最大值，其中[{i，j，k}?{1，2，3，4，5}]，[{r，s，t}?{1，2，3，4，5}]，则[m，M]满足 （ ）

A. [m=0，M>0] B. [m0]

C. [m

10. 如图，在扇形[OAB]中，[∠AOB=60°]，[C]为弧[AB]上且与[A，B]不重合的一个动点，且[OC=xOA+yOB]，若[u=x+λy（λ>0）]存在最大值，则[λ]的取值范围为 （ ）

A. （1，3） B. （[13]，3）

C. （[12]，1） D. （[12]，2）

11. 已知向量[a]，[b]满足[a=（1，0），b=（2，4）]，则[|a+b|=]__________.

12. 已知向量[a，b]满足[a=4，][b=3]且[（2a-][3b）・（2a+b）=61]，则[a]与[b]的夹角为 .

13. 已知向量[m=（1，2）]，[n=（1，1）]，若[m]与[m+λn]的夹角为锐角，则实数[λ]的取值范围为__________.

14. 在[RtABC]中，[∠C=90°]，若[ABC]所在平面内一点[P]满足[PA+PB+λPC=0].

（1）当[λ=1]时，[PA2+PB2PC2=]___________；

（2）[PA2+PB2PC2]的最小值为___________.

15. 已知数列[an]是公差不为零的等差数列，[Sn]为其前[n]项的和. 等比数列[bn]的前三项分别为[a2，a5，a11].

（1）求数列[bn]的公比；

（2）若[a1=1]，[OQn=（ann，Snn2）（n∈N?）]，求[OQn]的最大值.

16. 设[ABC]的三个内角[A，B，C]所对的边分别为[a，b，c]，且满足[（2a+c）BC・BA+cCA・CB=0].

（1）求角[B]的大小；

（2）若[b=23]，试求[AB・CB]的最小值.

17.已知[O]为坐标原点，向量[OA=（sinα，1）]，[OB=（cosα，0）]，[OC=（-sinα，2）]，点[P]满足[AB=BP].

（1）记函数[f（α）=PB・CA]，[α∈（-π8，π2）]，讨论函数[f（α）]的单调性，并求其值域；

（2）若[O，P，C]三点共线，求[OA+OB]的值.

18. 两非零向量[a，b]满足[2a+b]与[b]垂直，集合[A=][xx2+（a+b）x+ab=0]是单元素集.

（1）求[a]与[b]的夹角；

（2）若不等式[a+tb≥ma-b]对任意实数[t]都成立，求实数[m]的值.