美式看跌期权二叉树数值算法比较
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【摘要】美式期权的特征赋予其投资者可以选择是否提前执行期权，在什么情况下执行期权便成了主要考虑的问题。当股票不存在分红时，其他参数均相同，那么美式看涨期权与欧式看涨期权的价值相同，即不存在提前执行。然而，不付红利的美式看跌期权却可以提前执行。本文着重分析在为美式看跌期权定价时，二叉树二叉树法中的两种不同的matlab代码的其各自特点。
【关键词】美式看跌期权；二叉树
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现今金融创新技术日新月异，金融衍生产品无论从种类还是数量上都已经获得了极大的发展，随着“火箭科学家”的加入，产品的独特性与复杂性也越来越高。但期权依然是其中最基础也是最重要的一种，也依然是学界研究的重点。期权在风险管理和投资理财等领域有着无可替代的重要作用，获得合理地期权定价就成为发挥其功能的主要前提，由此才能进一步促进全球金融市场的健康与稳定发展。1973年，Black和Scholes给出了欧式看涨期权的解析价格，用评价公式可以很简单的得到欧式看跌期权的价格，后续研究者进一步推广了BS定价公式，从而使欧式期权的定价问题得以比较完备的解决。而具有可提前执行特性的美式期权，其定价问题从数学角度看，是一个在随机微分方程下含有自由边界的求值问题，即无法获得封闭解。在无法获得封闭解的情况下，以二叉树为代表的数值方法为美式期权定价就成了可行之道。
1 二叉树法A
针对美式看涨/看跌期权的特点，matlab中的金融工具箱已给出公式――binprice。输入各参数，可得到股票价格的二叉树路径和相应的期权价格。针对美式看跌期权，其代码并不复杂，即：（使用CRR模型）
function price = Binprice（s0，k，r，T，sigma，n）
tt=T/n；
u=exp（sigma*sqrt（tt））；
d=exp（-sigma*sqrt（tt））；
p=（exp（r*tt）-d）/（u-d）；
price=zeros（n+1）；
price（1，1）=s0；
for i=1：n+1；
for j=1：n+1；
if j>=i；
price（i，j）=price（1，1）*u^（j-i）*d^（i-1）；
end
end
end
opition=zeros（n+1）；
opition（：，n+1）=max（k-price（：，n+1），0）；
for j=n：-1：1；
for i=1：n；
if i
opition（i，j）=max（k-price（i，j），exp（-r*tt）*（（1-p）*opition（i+1，j+1）+p*opition（i，j+1）））；
end
end
end
opition
此种方法的有点在于操作简单，结果明显，并输出了股票价格矩阵，令使用者可以非常直观的美式看跌期权的最佳执行边界。并且，稍做修改便可适用于非CRR的其他二叉树模型。然而，其缺点在于当二叉树层数n较大时（例如n=10000），由于要生成n+1阶矩阵，此程序往往不能胜任（matlab会显示out of memory）。根据此特点，我们需要优化代码。
2 二叉树法B
function price = AmPutLattice（S0，K，r，T，sigma，N）
tic
deltaT = T/N；
u=exp（sigma * sqrt（deltaT））；
d=1/u；
p=（exp（r*deltaT） - d）/（u-d）；
discount = exp（-r*deltaT）；
p_u = discount*p；
p_d = discount*（1-p）；
SVals = zeros（2*N+1，1）；
SVals（N+1） = S0；
for i=1：N
SVals（N+1+i） = u*SVals（N+i）；
SVals（N+1-i） = d*SVals（N+2-i）；
end
PVals = zeros（2*N+1，1）；
for i=1：2：2*N+1
PVals（i） = max（K-SVals（i），0）；
end
for tau=1：N
for i= （tau+1）：2：（2*N+1-tau）
hold = p_u*PVals（i+1） + p_d*PVals（i-1）；
PVals（i） = max（hold， K-SVals（i））；
end
end
price = PVals（N+1）；
toc
此代码计算速度快的主要原因在于利用了CRR模型中上升比例与下降比例乘积为1（u*d=1）这一特点。
其优点在于只需生成一个列向量来表示股价并进行迭代，计算期权价格，运算速度较快。数值算例：S=52；k=52；r=0.1；sigma=0.4；T=5/12；n=10000；
输出结果 price=4.4555
运行时间 1.897011 seconds
其缺点在于，只输出期权价格，并不能得到最佳执行边界，并且不适用于非CRR模型。
参考文献：
[1]姜礼尚.期权定价的数学模型和方法
[2]约翰・赫尔.