从数学中的有限量来认识无限量的计算
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摘要:极限概念反映了物质世界中量变转化为质变的客观规律,也就是说,极限在一定的条件下,可以做有限与无限的重要桥梁,将对立着的有限与无限统一起来,从而达到计算无限量大小的目的。利用这一规律,可使数学中的很多问题得以解决,不断加深对这一规律的认识和应用,在今后的数学发展中,将仍有助于许多问题的解决。
Abstract: The concept of limited reflects the objective law that quantity changes into transmutaion. Under certain conditions, limit is a bridge between limited and unlimited, It can unify the limited and unlimited to calculate the unlimited. The rule can solve a lot of mathematical problems.
关键词:有限量;无限量;计算
Key words: limited;unlimited;calculating
中图分类号:O1-0 文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)10-0128-02
0引言
物质、时间、空间…从量的方面来说,都是有限与无限的对立和统一。任何事物,在其运动、变化、发展的历程中,经历的时间是有限的,占据的空间是有限的,具有的质量也是有限的,但从整个物质世界来看,正是这一切的有限组成了宇宙演化的长河与无尽的广延。深入于物质结构看,任何一个有限物体可分解为分子,原子与基本粒子等一系列无限的层次。《庄子,天下篇》记载着“辩者”的这样一种说法:“一尺之棰,日取一半,万世不竭”。从纯粹的量的方面分析,“一尺之棰”这样一个有限量,通过一次又一次的对分,可展示为一个无穷数列:,,,…,但它的总和是一个有限数:1。任何特定的有限均可被超越而表现为在时间上,空间上,运动上的无限性。而现实世界中的有限和无限,反映到人们的头脑中,经过思维,便构成了数学中量的有限和无限。如果能够计算无限量的大小,便可使我们所研究的问题进一步扩大和深入。无限并不神秘,人们在实践中历来是从有限来认识无限的。例如,人们对无理数无限性的认识,就是从有理数开始的。圆周率,可用有理数来表示它的时候,便是一个无限序列:3.1,3.14,3.141,3.1415…,一旦使无限转化为有限的确定的数π时,便是一个实实在在的无限不循环的小数。
一条线段,其长度是有限的,但是它可以延长为更长的线段,当延长的次数和长度不做限定时,便可从有限长的线段的概念,发展成无限长的直线的概念。人们通过有限可以发现无限。同时,无限量的确是以有限量的对立面而存在,有限和无限有着质的差异。恩格斯指出:“只要数学谈到无限大和无限小,它就导入一个质的差异,这个差异甚至表现为不可克服的质的对立:量的相互差别太大了,甚至它们之间每一种合理关系,每一种比较都失败了…”。也就是说,在有限量和有限量之间的合理关系以及各种比较方面的性质,对于无限大和无限小来说,都不能无条件的应用了。例如,同数相减剩余为0,但∞-∞就不等于0了;又如,0乘任何数都等于0,但0•∞是不定型。
再如,在微积分里,有一个典型的基本算法,就是把无穷多项加起来,叫做无穷级数。无穷多项相加与有限项相加有本质上的区别。有限项相加,总有确定的“和”;而无穷多项相加,是加不完的,如果简单的将有限项相加的运算规则照例搬到无穷级数之中,有时就会得出一些错误的结论。如:
s=+++…
=(-)+(-)+(-)+…
=1-(-)-(-)-…
=1
其实,第三步是不允许的,实际上s=。可这样考虑:
+++…=
由于un==(-)
因此:
sn=1-+-+-+…+-
=1-
所以s=Sn=1-=,
也就是说,无限量的计算,不能简单照搬有限量的运算法则。但是有限和无限的差异并非构成不可超越的鸿沟,相反,两者在一定条件下是可以相互转化的。也正是这种转化成为数学中解决无限量计算的有力手段和方法。其实这种方法在初等数学中已经涉及到。数学归纳法就是利用这种方法使得一个无限量的等式得以证明解决。
例如,我们要验证公式1+2+3+…+n=对所有的自然数成立。按道理说我们应从1开始对所有自然数逐个加以检验,但谁都知道这是办不到的事。利用数学归纳法,根据自然数可以从1开始顺序地数下去,总可以数到任意事先给定的自然数这一性质,而把无限的检验过程归纳为有限的两步:一,证明公式对n=1成立,二,在假设公式对n=k也成立的前提下,证明公式对n=k+1也成立。全部问题的关键在于引入了一个相对固定的数k。k是固定的,否则不能保证公式对一切自然数成立,但k在步骤二中又是相对固定的,否则我们无法进行推理。根据这种“把对无限个数进行检验,转化为对相对固定的有限个数进行检验”的思想,可使证明问题得以解决。
在微分学中,求解函数在一点的导数问题,就体现了一个化有限为无限,又从无限认识有限的方法和理念。以导数的速度意义分析如下:设某物体作非均匀直线运动,其运动方程为s=s(t),其中t时间,s为物体对应于时间t经过的路程。欲求在时刻t0的瞬时速度v(t0),可先求出当时间t从t0到t0+Δt这段时间内的平均速度v=,显然,不论Δt怎样小,v不是t0的瞬时速度。然而,设想Δt逐步缩小,并把这一过程推向无限:即令Δt0,取v的极限――即化有限为无限。那么平均速度就经历一无限变动过程,而最终转化为有限值瞬时速度v(t0)=v,也就是说,通过计算v=,而达到对于瞬时速度v(t0)的认识――即从无限认识有限。
使得这一问题得以解决,正是运用“有限与无限在一定条件下可以转化”而取得的成果。这一转化的恰当描述就是极限概念。极限概念包含两方面:它不仅包含极限过程,还包含极限结果;从过程来看,表现为有限向无限的转化,从结果来看,无限又转化为有限。可见极限概念体现了过程与结果、有限与无限、量与质对立和统一的结果。在积分学中利用有限和无限的辩证关系解决的一个有代表性的问题,是计算曲边梯形的面积,还有计算变速直线运动的路程。现以计算变速直线运动的路程为例,说明如下:
设一物体作变速直线运动,已知物体运动的速度为v=v(t),它是时间t在区间[T1,T2]上的一个连续函数,且v(t)?叟0求在这段时间内物体所经过的路程s。
由于速度是变量,因此,所求路程S不能直接运用匀速直线运动的路程公式计算,为解决这一矛盾,就要解决速度“变和不变”的矛盾:将区间[T1,T2]分割成n个小区间[ti-1,ti](i=1,2,3,…,n),各个小区间的长度依次为Δti=ti-ti-1(i=1,2,3,…,n)。在每个小区间[ti-1,ti]上任取一时刻ξi,以v(ξi)近似代替[ti-ti-1]上各点的速度,得到部分路程Δsi的近似值Δsi≈v(ξi)Δti(i=1,2,3,…,n)。把n个时间段的部分路程的近似值相加,就得到变速直线运动路程s的近似值,即s≈Δsi≈v(ξi)Δti。
在计算的过程中,每一个特定的局部Δsi是有限的,是已知的,或是易算的,当然这时算出的v(ξi)Δti还不是变速直线运动路程s的值。可是λ取得很小时,v(ξi)Δti与s相差就很小。于是,我们面临了一个v(ξi)Δti的无限运动过程。也就是说,为了计算s值,我们引入了一个变量的无限运动过程:记λ=mas{Δt1,Δt2,…,Δti…Δtn},当λ0时,和式v(ξi)Δti的极限值就是所求路程s的精确值,即s=v(ξi)Δti
而在极限过程的计算完成之后,也就达到了对s的认识。这种极限方法,就像恩格斯所说的那样,“从有限中找到无限,从暂时中找到永远,并且使之确立起来.”极限概念反映了物质世界中量变转化为质变的客观规律,也就是说,极限在一定的条件下,可以做有限与无限的重要桥梁。
比如,在无穷级数理论中,函数项级数在收敛的情况下,就可转化为一个确定的有限形式的函数表达式。同时,一个有限形式的函数又可在一定条件下以级数――无限的形式来展开。利用这一点――有限和无限在一定条件下可相互转化,我们可以把无穷级数作为研究函数的有力杠杆,而极限正是这一杠杆的恰当支点。
举例如下:
ex=1+x+++…=
sinx=x-+-…+(-1)n+…
=(-1)k
cosx=1-+-…+(-1)n+…
=(-1)k
对于x每一个确定的值,ex,sinx,cosx都有一个相应确定的值,而且这些值都是有限的。但是为了研究这些值及其关系,上式给出的无限表达式向我们提供了重要方便,比如制造各种函数表,并且也有助于掌握ex,sinx,cosx之间的简明关系:ex=cosx+isinx。也就是说,有限函数通过无限形式的表达, 使得数学中一些问题得以轻松解决。
在这里需要强调的是有限与无限的转化是有条件的。上述各个级数能表达为有限形式的前提,是他们都收敛。也就是说,有限既然和无限有着质的差异,那么如果不考虑前提条件,转化也并不是保证解决一切问题。比如,有限的平面图形不能用图形所含的线段来计算。因为线段的“个数”是不可数的。同样,一个线段的长度也不能用所含的点的个数来计算。
我们遵循在一定条件下,从有限量的计算,通过极限这个桥梁,便可将对立着的有限与无限统一起来,从而达到计算无限量大小的目的,使得数学中的很多问题得以解决。我们不断加深对这一规律的认识和应用,在今后的数学发展中,将仍有助于许多问题的解决。