巧用等积法解高考立体几何试题

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在立体几何中，有些求体积问题可以通过等积变换来完成，即将一个几何体的体积等价转化为另一个便于求体积的几何体来解决；求某些点到到平面的距离，也可以通过等积法来完成；因为采用这种方法可以回避寻找垂足点的具置，从而降低了思维难度，省去许多作图和论证过程，而将问题巧妙地得以解决；求斜线与平面所成角时，若能求得斜线上的某点到斜足的距离及该点到平面的距离，便可快速求出该斜线与这个平面所成的角.

从近几年的一些高考立几试题中，我们不难发现，许多立几解答题(特别是文史类试题）若能灵活地运用此方法，可将试题简捷讯速得以解决，下面

结合2 0 1 1年部分省市高考立几试题展示相应解法（以下各题均只给出最后一小题的解法），供参考.

1 巧用等积转化求体积

题1 （2 0 1 1年高考上海卷·文2 0 ）如图1 ，已知

.

2 巧用等积转化求点到平面的距离

题4 （2 0 0 1年高考全国卷·文1 8 ）如图4 ，四棱锥P− A B C D中，底面A B C D为平行四边形，

6 0

P D A B C D .

（I ）证明：P A B D ；

（I I ）设P D= A D =1 ，求棱锥D− P B C的高.

（I I ）的另解 由题设条件可得B C =1 ，C D = 2 ，

，由余弦定理知

6 0

P A C P A= A B P B A C所成角的余

弦值；（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求

的长.

= = 1 ，过M作M H 平面A B C D ，垂足为H (无须论证H在什么位置），连结A H，则∠M A H就是直线A M与平面A B C D所成的角.

在RtΔ A H M中，得

从以上各题解法的展示过程中不难发现，采用此方法解题的关健在于：①巧妙地利用了三棱锥每个顶点均可作为棱锥的顶点，三棱锥每个面均可作为棱锥的底面；②利用线与面平行、面与面平行，借助等底面积等高的锥的体积相等，从而实现等积转化，达到解决问题的目的.

许多高考试题虽然出至于不同省市、甚至来自于文、理不同科目，但在解法思路上均可用“等积变换”这一方法得以完美的统一.

这一方法除了直接用于解题展示外，也可作为对其它解法所得结果的检验手段.因此，这一方法的确值得好好研究与灵活把握.