植树问题教学研究报告
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一、问题
植树问题是人教版小学数学四年级下册数学广角的内容。教材呈现了三个例题：例1是两端都栽的植树情况，例2是两端都不栽的植树情况，例3是封闭图形上的植树问题。我们所陈述的植树问题，是指按一定的路线植树：这条路线的总长度被树均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树棵数之间的关系就不同，所以需要学生分情况进行分析讨论。现实生活中，所有关于总数与间隔数之间关系的问题都可以称为植树问题，如公路两旁安装路灯、花坛摆花、站队中的方阵等。教材试图通过这些现实生活中常见的实际问题，让学生从中发现规律，抽取出其中的数学模型，然后用发现的规律解决生活中的一些简单实际问题。
对于植树问题的教学，教师们通常分成两课时完成。有的一节课出示三种情况，分析各自不同的特点，总结出加1、减1、不加与不减三种方法，第二节课再进行巩固练习；有的第一节课只出现例1的两端都栽的情况，完成建模之后，第二节课再推广到例2、例3两种情况。我们从对22名教学过此内容的教师进行的访谈中发现：不管用怎样的方式进行教学，学生虽然都知道解决植树问题有三种方式——用加1、减1、不加不减计算，但在解决具体问题时，对哪种情况需要何种方法掌握得都不理想。为了探寻一种较好的教学处理方式，帮助学生切实掌握好植树问题的解决策略，我们进行了如下的教学研究。
（一）教之困
1.学生在课堂上，较容易掌握植树问题的三种情况、三种计算方法，但当面对的不再是“植树”这样的情境时，却无法顺利进行知识的迁移，找到解决问题的方法。问题的症结何在？
2.植树问题要教给学生的就是三种情况、三种方法吗？教师到底教什么？它的教学价值何在？
3.被编排进数学广角的知识都有个共同的目标，即向学生渗透数学思想。本课渗透了何种数学思想？
4.教材编排时，是将植树问题作为间隔问题的现实原型，是否还可以用别的问题作为它的现实原型？
5.教学中，模式建构与应用、三种情况的区分与计算，孰重孰轻？
（二）学之难
1.学生对三种情况的理解不深刻，对于其他的间隔问题不能进行数学化的抽象，尤其是对什么相当于“点”、什么相当于“段”弄不清楚。
2.学生不能根据植树中的间隔情况对应解决生活中其他的间隔问题。对于什么时候加1、什么时候减1、什么时候既不加又不减混淆不清。
3.学生只会机械地使用三种方法进行计算，缺乏灵活应用的能力。
（三）问题的分析
1.为什么植树问题会出现三种情况？因为植树的地点与间隔线段端点对应不同而产生了不同的情况。在平时的学习中，我们只是通过总长度求线段的条数，而未讨论端点的数量。因此，学生缺乏对这类知识的经验积累。
2.为什么植树问题这么难理解？植树问题是一个实践性很强的知识，学生的生活环境决定了他们根本就没有与知识相关的生活体验，加之他们在勇于质疑、自主学习能力等方面存在缺失，所以理解起来有难度。
3.为什么学生学得机械？教师们为了达成知识目标，往往忽视了植树问题渗透数学思想的本质功能，常局限于教材的三个例题，带领学生一一总结公式（甚至要求熟背），变化问题情境训练解题技能，造成了学生对三种计算方法的机械应用，约束了学生思维的发展。
针对这些问题，我们拟找出两种策略来研究植树问题。其一，用一一对应的思想突破理解的瓶颈；其二，采用画图的方式教给学生直面问题的一种解决问题的方法。下面是我们的实践与思考。
二、实践
用一一对应思想解决植树问题的教学尝试。
1.建模。
为了让学生深刻理解物体数和间隔数之间的一一对应关系，教师在教学中尝试建立标准模型，以期帮助学生掌握植树问题的本质。教学片段如下——
①小组操作活动：像串糖葫芦一样，三根小棒可能串几个球？
展示学生作品：
讨论：同样是3根小棒串球，为什么串的小球个数不相同呢？
得到三种不同的串法：两端都串；只串一端；两端都不串。
②出示学生在阳光下站队的图片。
发现一个学生对应一个影子，理解一一对应：一个对一个，如影随行；一一对应时，人数和影子数相等。
③一对一地将小棒分组拆下来，发现规律：
2.灵活利用模型解决问题。
①出示改编例题：同学们在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵。可能栽几棵树？
设计“可能栽几棵树”这样一个开放性问题打开学生的思路，激发学生有序地思考，借助模型，解决问题。
②自主探究，解决问题。
我们发现，学生通过自主探究，能结合画图解决三种情况下的植树问题，并能借助一一对应思想，将一棵树和一个间隔分成一组，理解棵数和段数的关系。
③借助小棒模型演示封闭图形的植树问题。
因为小棒可以弯曲，引导学生直观演示，建立起封闭植树和线段植树之间的联系。
设计意图：
先借助小棒模型，引导学生认识一一对应思想的模型结构，将静态的知识变成动态的，突出三种情况下物体数和间隔数之间的关系。
对于植树问题，我们事实上应当更加重视模式化与一一对应思想，引出间隔数与所种树的棵数这两者的关系，突出一一对应思想，并以此为基础，通过适当变化以求解各种变化了的情况（郑毓信语）。所以，当学生用三个图解决了三种情况下的植树问题后，教师引导学生像拆小棒和球一样，将树和间隔一对一地进行分组，从本质上理解棵数和段数之间的关系。接着引导学生用“只种一端”一个模型想清楚三种情况下的植树问题，加1、减1等法则只是针对具体情况作出的适当变化，而不过于强调“两端都种”、“只种一端”与“两端都不种”这三种情况的区分，也不特意归纳出一个个公式。
继续利用小棒和球，用模型沟通一端种树与封闭图形之间的联系，帮助学生很好地建构起相应的模式，轻松突破难点。
用画图方法解决植树问题的教学尝试。
片段一：出示开放性问题，引出植树问题的不同情况，呈现不同的解题策略。
课件出示题1：园林工人在一条长12米的小路一边植树，每隔3米栽一棵。一共需要多少棵树苗？
师：有没有不懂的地方？请知道的同学给解释解释！
师：题目弄清楚了，答案呢？
学生产生了不同的答案，分别是5棵、3棵、4棵。
师：怎么会有这么多不同的答案？到底哪个答案对呢？
学生画图说明不同的情况，加以验证。
师：画图非常直观，可以让我们直接看到是怎么回事，还能直接看出答案。在解决问题中，画图的作用不可小觑哦！
这一环节抛出一个开放性问题引发学生的争论，答案到底是5棵还是4棵或者是3棵？争论得无法开交的时候想想怎么才能说明自己答案的合理性？学生很自然地想到了画图。三位学生板画的三种不同情况的图示，直观地呈现了在一条直线上植树的不同情况，能让我们直接从图中数出答案。画图使整个解决问题的过程简单明了，画图的作用自然是不可小觑。
片段二：锁定一种情况解决问题，体验用画图的策略验证答案并探求规律。
课件出示题2：园林工人在一条长20米的小路一边植树，每隔4米栽一棵（两端都要栽）。一共需要多少棵树苗？
师：很多同学一读题心里就有了答案，如果要确保答案是正确的，可以做什么？（引导画图验证）
课件出示题3：园林工人在一条长200米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都要栽）。一共需要多少棵树苗？
学生独立解决问题，师巡视学生的完成情况。
学生汇报展示，交流方法：200÷5=40，40+1=41（棵）。
师：哪些同学验证了自己的答案？这下不便于画图直接验证了，那我们不妨换个角度分析一下这种一除一加的算法有没有道理。
师适时板书：路长÷间距=段数。
师：为什么还要加“1”？
师：画个图检验一下！
学生独立画图检验。
师：看来，在两端都种的情况下，棵数真的比段数多1。多了哪一棵？（开头或者结尾那一棵），所以我们得出——棵数=段数+1（板书）。
师：刚才这一题直接画图验证有点麻烦，不过，画几个简单图形还是帮了我们大忙——帮助我们找到了植树问题中的一种规律。
在这一片段中，我们选用了两端都栽的两个问题。第一个问题数据较小，学生得出答案后可以直接画图验证答案。在此，我们有意识地引导学生得出答案之后一定要画图验证。因为根据以前的教学经验，学生往往习惯于记忆公式，但是在解决实际问题时会不假思索地套用公式，结果常常犯一些很明显的错误。培养学生验证答案的习惯，画图直接验证自然是最可靠的方法。第二个问题数据较大，不便于画图直接验证答案。这是画图方法的局限性。面对复杂的问题，我们应该引导学生经历解决问题的全过程。画图直接验证有难度了，不妨换个角度，分析一下学生的算法有没有道理。如果有道理，也可以说明答案是正确的。而要说明一除一加这个算法的道理，最好的办法是结合前面已经画好的图来说明。至此，画图不仅可以帮助我们验证答案，还有助于我们探求规律，理解算法。
片段三：引导小结
师：通过画图，即使再复杂的情况我们也可以搞清楚。看看黑板，咱们是得记住这三个公式吧？（指板书）你们记得住吗？
学生都说记得住。
师：真够自信的。我就没这么有信心，现在是记得住，说不定过几天就忘了，一会儿加1，一会儿减1，难免犯糊涂，你们有什么好办法帮我吗？万一我忘记了公式，有没有办法找回来？
终于有学生说出了画图。
师：哦，通过画几个简单的图发现规律可以找回公式。我们班的孩子比我自信，他们也说自己记得清公式，可是有时候还是会弄混算错，你们有什么办法？（引导学生说出做完后画图验证）
师：非常感谢你们给我支招，既然公式遗忘了也能找得回，那我可不可以把这些公式擦掉？不记行不行？记住，什么方法一定可以帮助我们找到正确答案？（画图验证、找规律……）
有了前面较为充分的画图解决问题的体验，学生面对公式，自觉地少了死记硬背的态度，在征询意见达成共识之后擦掉公式，意在减少模式识别上的生搬硬套公式，促进学生主动去分析问题。公式不用记，因为我们有非常简便的方法——画图，可以随时找回公式。掌握了方法可以减轻思维记忆的负担，这应该就是方法比知识更重要。
三、讨论
1.课堂与思考
如何真正实现数学广角植树问题知识的教学目标，两位教师分别从利用一一对应的数学思想、解题的一般策略：画图这两个切入点进行教学设计与课堂教学实践。
（1）创造性地使用教材，渗透数学思想。
无论是植树问题，还是路灯问题、排队问题、锯木头问题等，都有着相同的数学结构，可以归结为同一数学模式，统称为分隔问题（郑毓信语）。事实上，植树问题的本质就是对应，只要明确了“间隔”与“树”这两者之间的对应关系，突出一一对应的思想，再以此为基础并通过适当变化就可以应对各种变化了的情况。因此，这个内容真正重要的应是一一对应的数学思想，应该用对应思想统领课堂。从这个意义上说，这个内容的教学真正需要的也就并非规律的应用，而是思维的灵活性，即如何能够依据基本模式并通过适当变化适应各种变化了的情况。植树问题只是间隔问题的一个现实原型，并非此类知识的全部。用一一对应思想解决植树问题的教学实践，正是基于这些思考而进行的。课堂教学上，引导学生像拆小棒和球一样，将树和间隔一对一地进行分组，从本质上理解棵数和段数之间的关系，解决植树问题。接着引导学生用“只种一端”一个模型想清楚三种情况下的植树问题，加1、减1等法则只是针对具体情况作出的适当变化，而不过于强调“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”这三种情况的区分，也不特意归纳出一个个公式。从这个意义上说，这节课迈出了成功的一步。