基于流体力学的数字水墨书画系统的研究与设计

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摘要：该文在Curtis的研究基础上，提出了水墨粒子运移、传输的三层模型，并将流体动力学理论引入水墨粒子在浅水层、墨粒沉积层以及毛细作用层的运移和传输规律的研究，通过Helmholtz-Hodge 分解，求解基于Navier-Stokes偏微分方程组的水墨运动模型。以此作为理论基础，设计实现了一个交互式的数字水墨书画系统。实验结果表明， 最后形成的仿真效果，水墨画韵味真实。

关键词：中国水墨画；流体动力学；数字水墨书画系统

中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2013）07-1699-05

中国水墨画源远流长，有着朴素抽象、注重神似的画风，其影响至日本、韩国、东南亚一带，在东方乃至全世界都自成体系，可以说是东方文化的象征与瑰宝[1]。

西方的油画、水彩画等在绘制工具、表现技法上与中国水墨画有着本质不同。西方的绘画更理性，它遵循严格的透视原理及光学原理，以写实为主，追求“形似”。而中国水墨画在表现手法上往往不遵守客观规律，其更注重神似。正是由于这些差异，使得现有的关于西方绘画艺术的仿真方法无法直接应用于水墨画的模拟[2]。如何运用逻辑严谨规范的计算机技术对极为随意挥洒的中国水墨画进行仿真研究是极具挑战性的课题。

目前，对中国水墨画的仿真方法可分为两类：基于物理建模的方法和面向艺术效果的方法[3]。该文研究的是采用物理建模的方法对水墨画进行仿真。该文在Curtis[4]的研究基础上，提出了水墨画运移、传输的三层模型，并将流体动力学理论引入水墨粒子在浅水层、墨粒沉积层以及毛细作用层的运移和传输规律的研究，通过Helmholtz-Hodge 分解，求解基于Navier-Stokes偏微分方程组的水墨运动模型。以此作为理论基础，设计实现了一个交互式的数字水墨书画系统。

1 相关工作

水墨画的创作用具主要为笔、墨、纸。纸是水墨画的载体，所以纸的建模直接关系到水墨效果仿真的质量。关于纸张建模的研究工作可参考文献[4-6]。

在虚拟笔刷的建模及毛笔笔迹的模拟仿真方面，笔交互应用开始时就有研究者进行毛笔书法效果的模拟研究。1986 年，Strassmann[7]提出通过增加控制点连成矩形来填充毛笔笔迹的算法，1990年Chua[8]提出使用贝塞尔曲线来拟合毛笔笔迹，1991年Guo 和Kunii[9]提出了基于纸张纤维束的毛笔笔迹扩散模型，Pahm[10]提出了使用B 样条来模拟笔道的轮廓，中间使用四边形来拟合填充毛笔笔迹。

在水墨运动的物理建模方面，石[11]提出基于粒子系统的算法来仿真水墨扩散过程。王[12]将渗流力学引入水墨运移物理规律的研究。Nelson S.-H [6] 运用网格玻尔兹曼模型（Lattice Boltzmann methods）对水墨运移及传输过程进行仿真，并在GPU上实现了其算法。

2 基于流体动力学的水墨画绘制算法

本节给出基于流体动力学的水墨画仿真算法的定义、形式化描述及算法伪码。

2.1 水墨粒子运移、传输的三层模型

在Curtis的研究基础上本文提出水墨粒子运移、传输的三层模型。三层模型分别为：浅水层、墨粒沉积层、毛细作用层。三层模型相互作用，会产生不同的绘制效果。

浅水层用于模拟水墨在纸张表面的流动，主要模拟墨粒在水中浮起并被水传送到不同的区域这一过程。在浅水层中，水的流动被限制在湿区域内。

墨粒沉积层用于模拟墨粒在纸上被吸附和解吸附的现象，主要控制墨粒在浅水层和墨粒沉积层之间的转移。墨粒的密度、着色能力和粒度都会影响纸的吸附和解吸附能力[13]。

毛细作用层模拟水在纸张毛孔的迁移，将根据纸的水饱和度处理湿区域，在毛细作用层的作用下，湿区域会逐渐扩展。

2.2基于Navier-Stokes方程的水墨运动模型

本文采用Jos Stam [14]提出的Navier-Stokes方程作为模拟水流运动的物理模型，同时增加描述墨粒子密度因水流速度场变化而扩散的方程，两者一并构成水墨粒子在浅水层运动的基本物理模型。形式化定义为：

其中[??u=0]。公式（1）右边第一项表示速度场的自身平流，叫做平流项。第二项，称作压力项，代表了外力施加于水墨流体时，微观上所产生的不均匀的压力及加速度。第三项表示由于水墨浓稠度的不均匀所形成的阻碍，并由此造成了动量的扩散，同时影响了流体速度的分散。第四项是外力施加到水墨流体上而增加的加速度。

2.3 Helmholtz-Hodge分解定理

为求解以上方程，该文通过Helmholtz-Hodge 分解得到水墨粒子浅水层运移和传输算法[14]。

定义一个空间区域[D]，边界法线为[n]，标量场[p]。据Helmholtz-Hodge 分解定理有[D]上的矢量场[w] 能唯一分解为：

其中[u]是散度为零的矢量场（即[??u=0]），[p]为标量。把散度算子应用到方程（3）两边，有：

根据Helmholtz- Hodge分解定义一个投影算子[P]， 将矢量场[w] 投影到无源分[u]。应用到方程， （3）得到：

根据[P]的定义有[Pw=Pu=u]，固[P（?p）=0]，将此投影算子应用到方程（1）的两边有：

因为u的散度为0，左边的导数也是无散度的，同时[P（?p）=0]，有：

定义一个算子S，及各分量算子，平流A、扩散D、外力F、投射P， 整个求解过程变为：

从左到右进行运算，则整个求解过程，首先是平流，接着是扩散、外力和投射，即：

2.4基于流体动力学的水墨画浅水层运移和传输算法

2.4.1外力项

外力项由外界对水墨流体施加的力组成，并假设该外力在其时间步长内保持恒定，形式化定义为：

2.4.2平流项

平流项表示速度场沿着扩散方向传输自身和水墨粒子。这里使用隐式解法[14]，形式化定义为：

2.4.3扩散项

对扩散项的求解实际转化为对泊松方程的求解，形式化定义为：

可采用Gauss-Seidel法进行求解[14]。

2.4.4投影项

经过外力、扩散、平流运算后得到一个有散度的速度场w3（x），通过投影算子将其改变为无散度的速度场w4（x）。具体求解方法可参考文献[14]。对方程（2）的求解可参考以上所示进行。

3.4.5水流浅水层运移和传输算法伪码

详细的代码实现可以参考文献[15]。

2.4.6墨粒子浅水层运移和传输算法伪码

其中u， v为给定的水流速度场速度，diff为墨粒子扩散系数。更详细的代码实现可以参考文献[15]。

2.5水墨粒子墨粒沉积层运移和传输算法

在仿真的每一步，墨粒子都会被沉积层以一定数率吸附，同时也会以一定数率解吸附会浅水层。墨粒的密度[ρ]、着色能力[w]，粒度[r]和纸张的高度[h]都影响纸的吸附和解吸附能力。下面给出水墨粒子墨粒沉积层运移和传输算法的伪码。g为墨粒沉积层粒子密度，d为浅水层墨粒子密度。该文在Curtis的研究基础上，提出了水墨粒子墨粒沉积层运移和传输算法。

2.6水墨粒子毛细作用层运移和传输算法

当墨汁向正要变干但仍保持潮湿的区域进行扩散时会产生回吸现象。这个时候墨汁会被浅水层以一定的吸收率[α]吸收，同时向毛细作用层扩散。每个网格单元都会向其邻近区域传输墨汁，直到达到饱和容积率[c]。当饱和度超过[?]时，该网格单元被标记为潮湿区域。这样，由于毛细作用层的作用，就会形成不规则的分支形状，以此模拟水墨粒子的非规则扩散现象。该文在Curtis的研究基础上，提出了水墨粒子毛细作用层运移和传输算法。

3 实验结果

图1为运用具有不同浓稠度的水墨画笔书写的笔划（其扩散效果形态不同），图2为使用本文开发的数字水墨书画系统所书写的“蛇”字。图3为本文开发的数字水墨书画系统的用户界面。实验表明本文所设计的数字水墨书画系统能较好的仿真水墨书画的效果。

在当今数字娱乐产业蓬勃发展的时代，如何开发出具有实用价值，符合市场需求的数字水墨书画系统软件，是未来值得探索和深入研究的科学热点问题[16]。

参考文献：

[1] 栾峻峰.水墨画仿真系统的设计和实现[D].济南：山东大学，2009.

[2] 曹毅.基于图像的中国水墨画绘制方法的研究[D].长春：吉林大学，2012.

[3] 孙美君.中国水墨画的设色扩散与风格化绘制研究[D].天津：天津大学，2009.

[4] Cassidy J Curtis， Sean E Anderson， Joshua E.Seims.et.al. Computer-generated watercolor[C].In Proc.ACM.SIGGRAPH， LosAngeles， US， Aug.1997， 421-430.

[5] Guo Qinglian，Tosiyasu L，Kunii. Modeling the Diffuse Paintings of ‘Sumie’，Modeling in Computer Graphics，1991：329-338.

[6] Nelson Sin， Hang Chu， Chiew-Lan Tai， Real-Time Ink Dispersion in Absorbent Paper. ACM Transactions on Graphics，2005，24（3）：504-511.

[7] Strassmann S. Hairy brushes. Proc. of SIGGRA PH’86，1986：225-232.

[8] Chua Y. Bezier brush strokes. Computer Aided Design.1990， 22（9）：5505.

[9] Guo Q， Kunii TL. Modeling the diffuse painting of sumie， IFIP Modeling in Computer Graphics， 1991.

[10] Pahm B. Expressive Brush Strokes. Graphical Models and Image Processing， 1991，53（1）：1-6.

[11] 石永鑫，孙济洲，张海江，等.基于粒子系统的中国水墨画仿真算法[J].计算机辅助设计与图形学学报，2003，15（6）： 667-672.

[12] 王秀锦，孙济洲.基于渗流力学的水墨画仿真研究[J].系统仿真学报，2008，20（10）：2614-2619.

[13] 康丽锋.非真实感水彩画的研究与模拟[D].辽宁：辽宁师范大学，2009.

[14] Jos S. Stable Fluids[C].In Proceedings of SIGGRAPH[M]. New York： ACM Press， 1999： 121-128.

[15] Jos Stam.Real-Time Fluid Dynamics for Games[C]. Proceedings of the Game Developer Conference， March 2003.

[16] 赵杨，杨剑兰.基于流体动力学的水墨画绘制算法研究与设计[J].辽宁大学学报（自然科学版），2012（2）.