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对教材一个探究内容的设计与反思

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【摘要】探究内容的设计,需要灵活、机智,处理得当,能起到画龙点睛的作用.

【关键词】探究;成就;反思

高中《数学》人教A版必修2第2.3.2节“平面与平面垂直的判定”中,教材在例3完成后安排了探究问题:

图1如图1,已知:AB平面BCD,BCCD,你能发现哪些平面互相垂直?为什么?

在处理这个探究问题时,感觉比较纠结,如果先讲例题,那么探究的意义就不太明显了,如果展开探究活动,对本节课的计划有较大的影响,如果为了完成任务而探究,又感觉比较草率,有点浪费研究这个几何模型的机会.因此,在这里我把这个探究活动安排在面面垂直的性质学完之后,当作一个研究性学习课,安排学生从探究如何证明空间的线线垂直、线面垂直、面面垂直入手,通过长方体模型中的垂直关系,层层递进,探索常见的空间几何体中的垂直关系.

探究一:四棱锥P-ABCD中,PA底面正方形ABCD于A,且PA=AB.

①试判断图中有哪些线线垂直,并简单说明;

②试判断图中有哪些线面垂直,并简单说明;

③试判断图中有哪些面面垂直,并简单说明;

④如果PA=AB=2,P,A,B,C,D在同一个球面上,能否通过计算得到这个球体的表面积和体积?

①试判断图中有哪些线线垂直,并简单说明;

分析:这个模型是长方体模型的一个重要组成部分,要得到线线垂直,可以考虑哪些线线、线面、面面之间的关系?根据所学内容,学生自然能想到:①直角,②线面垂直.从直角入手,得到ADAB,ADDC,BCAB,ADPA, CDBC,

PAAB,PABC, PACD.

从线面垂直入手,有PA面ABCD.

DA面PABDAPB,

BC面PABBCPB,

AB面PADPDAB,

CD面PADPDCD.

②试判断图中有哪些线面垂直,并简单说明;

由①,DA面PAB,BC面PAB,AB面PAD,CD面PAD,只需要在前面的线线垂直中选两个条件,就能得到相应的线面垂直.

③试判断图中有哪些面面垂直,并简单说明;

围绕判断面面垂直的结论:“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.”由线面垂直入手,如DA面PAB,DA面PAD 面PAD面PAB,根据相同的思路,步步深入,可以得到其他的面面垂直关系.

④如果PA=AB=2,P,A,B,C,D在同一个球面上,能否通过计算得到这个球体的表面积和体积?

这个问题的产生,是为了回顾长方体的外接球的有关计算,在前面已经学了球的表面积和体积的知识,启发学生利用切割长方体的方法得到,该模型的外接球就是和它同底同高的长方体的外接球,顺利地得到结果.

探究一的设计意图是为了让学生积累解决垂直问题的经验,并获得研究问题的一般方法,由浅入深,层层递进.完成了探究一后,设计练习,达到意识的强化与巩固,增加自信心,收获成就感.

如图2,四棱锥P-ABCD中,PA底面正方形ABCD于A,且PA=AB.

(1)若E在PB上,AEPB,F在PC上,AFPC.证明面PBC面AEF.

(2)若PA=AC=2,AB=4,求二面角A-PB-C的正弦值和二面角P-BC-A的大小.

(3)证明P,A,B,C四点在同一球面上.

带着前面的经验,研究问题二的探究过程.

探究二:

图2问题一:已知在三棱锥S-ABC中,∠ACB=90°,又SA平面ABC,

ADSC于D,求证:AD平面SBC.

分析设问1:能否找到面SBC内的两条直线,都和直线AD垂直?自然能得到ADSC,只需要寻找下一个垂直,从已知条件出发,给出设问2:ADBC吗?为什么?解决这个设问,就解决了本探究的证明思路.

问题二:解答刚开始提出的课本探究.

如图1,已知:AB平面BCD,BCCD,你能发现哪些平面互相垂直,为什么?

学生通过问题一,能发现面SAC面SBC,并能找出其他的面面垂直.

问题三:已知在三棱锥S-ABC中, SA平面ABC,又平面SAC平面SBC.

能得到ACBC吗?请说明理由.

分析:借助问题一中得到ADBC的过程,启发学生得到证明BC平面SAC的思路,接下来,就如何证明BC平面SAC展开问题探究,发现了问题的解决过程.

最后,学生把整个过程完善,整理成成果,就是一个很优秀的研究性学习作品,在学习中体验了成就感.

反思:其实教材中有许多“思考”、“探究”,都可以作为很好的研究性学习案例,只要设计恰当,定能达到锦上添花,画龙点睛的效果,因此,在研究教材教法,准备教学环节时,需要做个有心人.