数列问题:套路之外寻思路

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S老师在课间喜欢与学生交流,了解学习情况,讨论一些学生感兴趣的问题.近阶段学习数列,学生显得较为轻松,聪明的学生还总结出了解题套路:抓基本量+细心计算.真是初生牛犊不怕虎.想想数列曾是多少高考“过来人”的心头之疼.但望疼不再延续.

“无聊”的填数问题

网上公布的公务员考试题中有一道找规律填数字问题:

题1 根据规律填空：1， 3， 11， 67， 629,( ).

S老师准备让学生试试看.

生 老师,这类题目我们小学时做得太多了.现在还让我们做不是太无聊了吗?

学生虽这么说,其实还是很感兴趣.但很快由不屑一顾变成束手无策了.这个数列既不是等差数列,也不是等比数列.套路无用武之地了.总体看,数列逐项在增大.但给出的四个选项都比629大.

生 增大的幅度越来越大:3-1=2， 11-3=8， 67-11=56， 629-67=562.不过2351-629=1722也远大于562,后面几个选项与629的差就更大了.并没有看出哪个选项显得特别.

师 除了考察相邻两项的差,还有其他方法吗?

生 能不能看看相邻两项的比呢?

于是粗略地估算知:31=3, 113≈3.67, 6711≈6.09, 62967≈9.39.

师 接下来的一个比值大致可能是多少呢?

生 应该在12附近才行.又2351629≈3.74, 3130629≈4.98, 4783629≈7.60, 7781629≈12.37,选择D.

师 很好.

生 老师,虽然猜到了正确的答案,但并没觉得与学过的等差或等比数列有何联系?

师 你察觉出数列是逐项增大,不是考察了相邻两项的差、相邻两项的商吗?看到3.67， 6.09， 9.39,为什么会猜想下一个数应该在12的附近呢?

生 哦,原来默化潜移地影响了我直观察觉的方法.但这样做让人有点不放心.如果四个选项提供的数值靠得很近,不还是没法选吗?

师 你们认为怎样才是完美的解法呢?

生 应该找出一个通项公式.

师 好,启动你们这些聪明的脑袋,大家一起想想看.

也就是这样的问题:

11, 23, 311, 467, 5629, 6？

学生觉得可从“467, 5629”入手寻找.靠近67的64是43,也就是说67=43+3;同理629=625+4=54+4.

再回头查看，10+0=1， 21+1=3， 32+2=11,皆符合同样关系.所以该数列的一个通项公式为an=nn-1+n-1.当n=6时，65+5=7781,选择D.

师 看来解决数列问题并非都是一环紧扣一环的推理计算,凭借对问题洞察,也能直逼问题的本质.

生 嘻,我们解题套路的版本该升级了.

直觉得来的结果有时我们自己也不敢相信.

被“误解”的好学生

一次作业中有这样一道题:

题2 已知{an}为等差数列, Sn是其前n项和， a1=25, S17=S9,问n为何值时，Sn取得最大值?

批改时,绝大部分同学是按“套路”求解.但发现某同学的本子上仅写了:

解当n=13时，Sn取得最大值.

难道来不及做作业,直接将别人的答案抄在自己的作业本上?课间S老师还是与该生面谈了解具体情况.

生 这个问题我会做,只是没有将想法写出来.

师 你是怎样想的呢?

生 因为Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+a1-d2n.所以当d≠0时,Sn是关于n的二次函数.且常数项为0.故有Sn=an2+bn.考察二次函数f(x)=ax2+bx.

由条件a1=25, S17=S9,知f(1)=25, f(17)=f(9).

因为f(x)的图象为抛物线,且过原点.又f(17)=f(9),所以抛物线关于直线x=17+92=13对称.又因为f(0)

师 想法很好,为什么不写出来呢?

生 这些都是显而易见的东西,写出来太长.但只要想到函数图象,也用不着计算,结果太明显了.

师 确实是很好的想法,由等差数列的前n项和联想到二次函数,用函数工具解决数列问题,很具有代表性.但数学表达也是不可忽视的一个方面.可不能“茶壶中煮饺子,有货到不出”.将你的思考过程好好整理一下,贴在后面的展示栏里好吗?

学生高兴地离开了办公室.

未过几天,该生又来找我.

生 老师,我发现用函数方法解决问题真的很有用.昨天与同学讨论这样一道题:

题3 在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1>0,且a1≠a3， a3=b3.试比较下列各组数的大小.(1)a2与b2;(2)a5与b5.

我这样思考行吗?

数列{an}的各项对应的点(n， an)在直线y=dx+(a1-d)上,数列{bn}对应的点在曲线y=b1qqx上.因为a1=b1， a3=b3.所以A(1， a1)， B(3， a3)是这两个函数图象的交点.当0

由图1可知,当x∈(-∞， 1）∪(3， +∞)时,直线在曲线的下方,当x∈(1， 3)时,直线在曲线的上方.所以a2>b2， a5

师 联想越来越丰富,头脑越学越活,方法很好.如果能注意到q可能为负数就更严谨了.

联想让我们的思维插上的翅膀.

“多余”的点拨

随着对数列学习的不断深入,学生涉猎问题的面越来越广,对解决问题不循规蹈矩早已司空见惯.还不时挑战一些有思考难度的问题.老师自然成了学生的高参.

生 老师,我遇到这样一道题,不知怎么办.

题4 给定数列{xn}， x1=1， xn+1=3xn+13-xn,则x2012

师 等式xn+1=3xn+13-xn也称为数列的递推关系式.递推关系式也是确定数列的一种方式.根据给定的前几项,逐步求出后面的项.

生 这些我都知道.

师 好,那我们就用这一关系来进行计算.由x1=1,可求得x2=2+3,由x2=2+3,求得x3=-2-3,再顺次下去,可求得x4=-1， x5=-2+3， x6=2-3.

生 老师,这些我都会.

师 那为什么还要问我呢?

生 我想找一个好方法,能快速算出x2012,像这样算,即使用计算器,或许到放学也算不完.

师 我这不是也在找方法吗?我也没有再好的方法了,只好先这样吧.老师也计算腻了.下面你来接着算一算吧,可不能算错啊!免得一失足成千古恨.

生 知道了,老师放心是了.

于是学生着手计算.

生 老师,我知道结果了.

师 怎么这么快解决了呢?

生 因为x7=1,也就是说,往下算得到的结果与前面由x1=1算出来的重复了.这不与三角函数的周期性一样吗?所以x13=1， x19=1， …, x6k+1=1 (k∈N),也就是说数列{xn}以6为周期.又因为2012=335×6+2.所以x2012=x2=2+3.我要是再多算一项,就不用来找您了.

师 你把我的功劳都抹杀了.

生 没想到三角函数的知识在数列中也能发挥作用.老师,万一这个数列的周期是一个很大的数,比如是50,那么不就更难发现了吗?有没有什么其他的方法呢?

师 这个问题提得很好,不妨想想看有没有其他的方法.由xn+1=3xn+13-xn能想到什么呢?

生 我想到3=tanπ6.

师 式子xn+1=3xn+13-xn又像是一个怎样的关系式呢?

生 我还想到tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ.

师 但差异还很明显.分母应当是“1-×”的形式.

生 只要将分子分母同除以3就行了.也就是xn+1=xn+331-33xn.

师 这下真的很像了.

生 像是tanα+π6=tanα+331-33tanα.设xn=tanαn,则tanαn+1=tanαn+331-33tanαn,所以tanαn+1=tanαn+π6.

则xn+6=tanαn+6=tanαn+5+π6=tanαn+4+2π6=…=tanαn+6π6=tanαn=xn.真地又找到了一种好方法.

师 这一方法你有完全的知识产权.老师不与你争了.

生 没有老师指引,我会摸索更长的时间.

联想有的时候缺少的就是一个正确的方向.