素数的分布有规律性

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【摘 要】文章中首先引入L等差数列组集合的概念，把素数分布范围压缩到L等差数列组集合中来，以便研究素数分布的规律性；并推导出素数的个数公式和素数分布的规律性。

【关键词】L等差数列组集合；行内素数；行内合数；素数个数公式

1. L等差数列组集合概念的引入 先把数列5+2（N-1）展开后，以每15个数为一组划分这个数列若干段，然后每一个段的15个数对齐地排列起来，就会得到由这15个等差数列5+30t、7+30t、9+30t、11+30t、13+30t、15+30t、17+30t、19+30t、21+30t、23+30t、25+30t、27+30t、29+30t、31+30t、33+30t所组成的“群体”（这里t=0、1、2、3、……）。接着，从这个“群体”中划出去5+30t、9+30t、15+30t、21+30t、25+30t、27+30t、33+30t等七个数列，就会得到剩下的八个数列7+30t、11+30t、13+30t、17+30t、19+30t、23+30t、29+30t、31+30t所合并一组的小“分体”。这个小“分体”叫做L等差数列组集合（简称L组集合）。

L等差数列组集合用图表表示如下：

第Ⅰ列第Ⅱ列第Ⅲ列第Ⅳ列第Ⅴ列第Ⅵ列第Ⅶ列第Ⅷ列行数

在L组集合图表中，用·点标记的数是合数。

L组集合的性质：

命题1：在L组集合里，包含有除2、3、5以外的一切素数。

证明：L组集合是由下列八个等差数列合并而成的7+30t、11+30t、13+30t、17+30t、19+30t、23+30t、29+30t、31+30t，所以素数2、3、5不包含于L组集合。由狄利克莱(Dirichlet)定理可知，形如7+30t、11+30t、13+30t、17+30t、19+30t、23+30t、29+30t、31+30t的素数都有无穷之多，而且这八个数列分别包含等差数列37+30t、41+30t、43+30t、47+30t、49+30t、53+30t、59+30t、61+30t；67+30t、71+30t、73+30t、77+30t、79+30t、83+30t、89+30t、91+30t；…；…；……。因此，在L组集合里包含有除2、3、5以外的一切素数。

命题2：在L组集合里所包含的合数是除2、3、5以外的一切素数相乘的积(即同一个素数的乘方或者两个或者两个以上素数相乘的积)。证明略。

L组集合的表示法：

L组集合用Y表示。象7、11、13、17、19、23、29、31等八个数为一体叫做行。行里所包含的每一个数叫做元素。因为每一个行里都有八个元素，所以z个行里所包含的元素的总个数Y就等于8z。

L组集合元素具有顺序性，这与普通集合元素有区别，所以不许把元素的排列顺序打错。因此可以引入行内素数的概念。

行内素数：

在L组集合里，每一个行都有八个元素(即素数个数+合数个数=8个，这里也包括8个素数+0个合数或者0个素数+8个合数的两种特殊情形)，其中有一系列素数。这一系列素数叫做行内素数。行内素数的个数用m表示(这里m为0、1、2、…、8的整数)。行内素数具有顺序性，这里用m表示行内素数序，如：第2行里的素数47和61的行内素数序分别为4和7。

这样把素数的分布从自然数范围压缩到L组集合中来，以便之处理简单化。

2. 素数的个数公式 L组集合概念引进后，笔者根据n的两种不同的分布“位置”和L组集合的性质，摸索出素数的个数公式。

2.1 当n在L组集合第Ⅷ列数时：

当n为31、61、91、…、30t+31时，在L组集合里笔者用δ(n)表示不大于n的素数的个数。所以 δ（31）=8，δ（61）=15，δ（91）=21。

命题：在L组集合中，所包含的元素的总个数等于所包含的素数的总个数与所包含的合数的总个数之和。证明略。

由此可知，素数的个数公式是从这些元素的总个数减去所包含的合数的总个数，即δ（n）=8z-u。

这里z表示为L组集合的行数，u表示为z行以内所包含的合数的总个数。z行以内所包含的合数的总个数u，以u=7*7/7*7+7*11/7*11+…+11*11/11*11+11*13/11*13+…+p*q/p*q来确定（这里p、q均为L组集合的元素，p*q≤30t+31的合数）。

例题1：求π（151）。

解：因为z=［151/30］=5,所以151是在L组集合里位于第5行第Ⅷ类的数，又因为u=7*7/7*7+7*11/7*11+…+11*11/11*11+11*13/11*13=7,所以δ（151）=8z-u=8*5-7=33，故π（151）=δ（151）+3=33+3=36。

以上所叙述的是n在于数列30t+31的数时，求素数个数的问题，即

δ（n）= 8*［(30t+31)/30］-(7*7/7*7+7*11/7*11+…+p*q/p*q)…………………（A）

2.2 当n在L组集合的第Ⅰ列-第Ⅶ列的数时：

也用δ（n）表示不大于n的素数的个数，即

δ（n）=8z-u+mˊ=8*［(30t+31)/30］-(7*7/7*7+7*11/7*11+…+p*q/p*q)+ mˊ……（B）

这里z表示行数，u表示不大于n的合数的总个数，mˊ表示在第z行与第z+1行之间所包含的某一个被指定素数的序号，且0≤mˊ≤8的整数。

下面用（B）求出不大于n的素数的个数。

例题2：求δ（131）。

解：①先求出行内素数的个数：

因为121＜131＜151，又因为δ（151）-δ（121）=8*［151/30］-(7*7/7*7+…+7*19/7*19+11*11/11*11+11*13/11*13)-(8［121/30］-7*7/7*7-7*11/7*11-7*13/7*13-7*17/7*17-11*11/11*11)=8-133/133-143/143=6,所以行内素数（指被指定素数131所在的行内素数）有6个。