初中数学中的数学思想

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所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。初中数学中涉及的数学思想有：数形结合思想、转化思想、分类思想、类比思想、函数与方程思想、统计思想。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。

一、数形结合思想

数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，数和形本来就具有密切的关系。我国著名数学家华罗庚先生说：“数无形时不直观，形无数时难入微。”这句话形象简练地指出了数和形的互相依赖、相互制约的辩证关系。因此，我们在研究问题的数量关系时，常常联系到图形，在研究图形时，常常将其数量化，使数量关系和对应图形结合起来，这就是数形结合的思想。如：学习有理数部分时充分利用数轴，列方程解应用题时利用直线形、圆形示意图，探求一元一次不等式（组）的解集时在数轴上表示……可以说数形结合的思想贯穿于初中数学的始终。

二、转化思想

客观事物总是在不断变化，并在一定条件下进行转化。事物之间的转化，反映在数学上就是转化思想，又称化归思想。转化思想是数学思想的核心，其内涵十分丰富：有复杂向简单的转化、抽象向直观的转化、多元向一元的转化、高次向低次的转化、未知向已知的转化、一般向特殊的转化等等。转化思想在数学中无时不有，无处不在。就其内容而言，有运算的转化，如加法与减法的转化、乘法与除法的转化；有式的转化，如无理式向有理式的转化、分式向整式的转化、函数式向方程式的转化；还有方法的转化，等式不等式形态的转化，问题表达方式的转化，解题过程中的一系列转化等等。转化思想贯穿于解题过程的始终。它是最重要的应用最广的数字思想。

三、分类思想

当一个数学问题难以解决时，有时可按某一标准把这个问题分成若干种不同的情况，然后对每种情况分别进行讨论，这种解决数学问题的思想就是分类思想。分类思想是初中阶段的重要思想方法之一。运用分类思想处理数学问题时要注意两点：一是分类标准相同；二是不重复、不遗漏。在概念教学中，为了明确概念的外延，常常要运用分类思想对概念进行分类，而且有些概念是直接运用分类思想以揭示其外延的方式定义的，如有理数、绝对值、实数整式等。总之，分类思想是研究概念的外延、图形的位置关系、函数性质等问题的基本思想。

四、类比思想

根据两种事物在某些特征上的相似性，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，这种推理思想运用在数学上就是类比思想。如：通过与有理数的相反数、绝对值、运算律类比得到实数的相反数、绝对值、运算律；通过与分数概念、分数基本性质类比得到分式概念、分式基本性质；通过与分数约分、通分的方法类比得到分式的约分、通分的方法，等等。

五、函数与方程思想

运动变化、相互关系、相互制约，是客观世界的普遍规律，函数与方程思想就是这一规律在数学中的反映。函数描述了自然界中量与量的依存关系，反映了一事物随另一事物的变化而变化的客观规律。在解决某些问题时，常常要抽象出问题的数学特征，建立一个恰当的函数关系，再利用该函数的性质来解决问题。这种通过建立函数关系并运用函数性质来解决数学问题的思想就是函数思想。方程是含有未知数和已知数的等式，因此，方程反映了已知量和未知量相互制约的条件，架设了由已知到未知的桥梁。任何一个联系生产和生活的数学问题，都有已知和未知，把已知和未知间的关系通过方程表达出来，再利用解方程的办法求得未知，这就是方程思想。简单地说，运用方程这一工具来解决数学的问题的思想就是方程思想。

函数与方程既是两个不同的概念，又存在着密切的联系。一个函数若能用一个解析式表达，则这个表达式就可看成一个方程；一个二元方程的两个未知数间存在着对应关系，如果这个对应关系是单值的，那么这个方程也可以看成一个函数；一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为这两个函数图象交点的横坐标。因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题也可以用方程的方法解决。

六、统计思想

利用样本的特征来估计总体的特征，从局部的性质来估计总体的性质，通过对数据的描述和整理来寻找规律，从偶然中寻找必然，从现象中寻找本质，这种处理数学问题的思想就是抽样统计思想，简称统计思想。运用统计思想来处理问题，关键是抽样的科学性，即样本的代表性。这种思想在科学试验、农业估产、工业质量检验以及教育估计等各个方面都具有广泛的实际应用。统计思想的重要性从初中“代数统计初步”一章的例题和习题中已充分地反映出来。统计思想也是一种重要的数学思想。