例说最优化问题

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最优化问题在实际生活中应用广泛，它涉及到生产生活的各个方面.在高考数学应用题中，最优化问题占有较大的比重.随着现代化生产和科学技术的进步，最优化问题已经渗透到生产、管理、商业、军事、决策等各个领域.本文总结了解决最优化问题的方法，从几个实例入手，运用线性规划、函数、不等式、方程解决最优化问题.

一、借助线性规划处理的问题

例1某市服装厂准备生产甲、乙两种服装，据调查生产一批甲服装所需要的主要原料是A布匹400 g、B布匹180 g；生产一批乙服装的主要原料是A布匹100 g、B布匹150 g.现服装厂库房内存A布匹1000 g、B布匹660 g，在此基础上生产甲、乙两种服装.若生产一批甲服装，所获得的收益为10000元；生产一批乙服装所获得的收益为5000元.那么该服装厂应该如何生产甲、乙这两种服装，从而使得最后获得的利润最大？

分析这题是给定一定数量的资源，要求充分利用好现有资源，保证生产的效益最大化问题.由给出的条件我们可以设生产A服装x批，生产乙服装y批，最终的利润为z万元，所以可以求得目标函数z=x+0.5y.再运用线性规划画出图形，即可求出z何时取得最大值.

解设生产甲种服装x批，乙服装y批，最终利润为z万元.

目标函数z=x+0.5y，

400x+100y≤1000，

180x+150y≤660，

x≥0，y≥0.

根据不等式组作出可行域图，根据图形可以看出在M（2，2）处，目标函数取得最大值，也就是最优解，所以应该生产2批甲服装，2批乙服装.

评注在最优化问题中，最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解.线性规划问题的解有多种情况，除了有唯一最优解的情况外，还有无可行解、有多个最优解（目标函数与可行域边界平行）、有可行解无最优解.我们在解决实际问题时，结果要符合实际意义.

二、用函数思想解决的问题

例2某大型游乐场投资150万元引进某一大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计开放后每月可收入33万元，而该游乐设施开放后，从第一个月到第x个月的维修包养费用累计y万元，且y=ax2+bx. 设施开放x月后总的纯收益为g（x）万元（g（x）是关于x的二次函数）.

（1）若维修保养费用第一个月为2万元，第二个月为4万元，求y关于x的解析式；

（2）求纯收益g（x）关于x的解析式；

（3）问设施开放几个月后，游乐场总的纯收益g（x）达到最大值.

分析本题是利用函数的单调性解决最值问题.

解（1）将已知条件x=1时，y=2；x=2时，y=6代入方程得a+b=2，

4a+2b=6.

从而解得a=b=1，所以y=x2+x.

（2）由题意知，纯收益

g（x）=33x-150-（x2+x）

=-x2+32x-150.

（3）g（x）=-x2+32x-150，要求g（x）的最大值，由于g（x）是二次函数，所以可以将g（x）化为其标准形式g（x）=-（x-16）2+106.所以g（x）是一个开口向下的抛物线，所以当x=16时，g（x）取得最大值106，即开放16个月之后，总的纯收益最大.

三、用不等式处理最优问题

例3某公司准备分批购买单价0.2万元的设备3600套，每次购买该设备都要付运费400元，已知储存该设备全年所需支付的保管费与每批购入该设备的总价值（不含运费）成正比.若每批购入400套，那么全年用于保管该设备的费用为4.36万元.现公司全年只有2.4万元的可用资金可以支付这笔费用，如何合理安排每批购买的设备数目，合理利用资金？

分析该案例可归纳为：每批购入x套设备为何值时，使得该设备的运费和保管费最小，最后再利用这个最小值与该公司全年现有资金2.4万元比较.

解设全年需用去运费和保管费用之和为y万元，储存该设备全年所需支付的保管费与每批购入该设备的总价值（不含运费）的正比系数为W，每次购入设备x套，则需要购买3600/x（次），每批的费用为0.2x万元.由题意得

y=0.04×3600x+0.2Wx.

由x=400时，y=4.36，得W=120，

所以y=0.04×3600x+1100x.

根据不等式的性质得

y=0.04×3600x+1100x

≥20.04×（1100x）×3600x=2.4，

当且仅当0.01x=0.04×3600x时，即x=120时，等号成立.所以，每次购买120套，则可以使得资金够用.

四、用二次方程求最值问题

例4A、B是两个货运中心，B离中转站C 30千米，C和A相距50千米（如图2）.现要在AC之间建立另一站点D，且AD段的运费是BD段的一半，要使A-D-B的总费用加起来最省，则D站点建在何处？

分析设AD长为x千米，如果AD路段每吨千米的运费为1个价格单位，那么BD路段的运费为2个价格单位，设每吨货物从A运到B的总费用为y个价格单位.

解设每吨货物从A到B的总费用为y个价格单位，则y=1×x+2（50-x）2+302.

将实际问题化为关于x的二次方程为

3x2-2（200-y）x+（13600-y2）=0.

本题要求运费最省，则

Δ=16y2-1600y-3200≥0，

即y2-100y-200≥0.

解此不等式，得y≥50+103和y≤-50+103（不合题意，舍去）.

所以y最小值=50+103.当y=50+103时，Δ=0，此时x=-[-2（200-y）]±02×3，

即x=200-（50+103）3≈44.

所以该站点应该建在A、C之间距离A约44千米处的D处.

评注这是运费最低问题，解决该题的关键是要将成本与路程的关系转化成数学模型――二次函数，然后根据函数的特点，应用判别式求最值法，给出最优结果.

最优化问题在实际生活中具有很强的应用性，在将最优化问题转化为实际问题时，要正确解读、理解题意，建立恰当的数学模型，细心解答.在解决最优化问题时，建模能力是解题的关键，最后得到的答案要与实际问题相符合.近几年的高考数学试卷中“最优化问题”备受命题组的青睐，将生活与数学紧密结合，充分体现了“生活即数学”的新课程理念.