特殊化――解决数学问题的点睛之笔

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解决数学问题的关键是把握问题的特征，然后对症下药，突破难点。“特殊化”是中学数学里很重要的一种思想方法，稍加留心就可以看到高考试题里有许多能用“特殊化”方法解决的问题。笔者结合几年来的高考备考经验，列举了几类常见的特殊化情形，以飨读者。

一、巧用特殊化，提示解题方向

高考试题中，有些题目的结论不明确，如果我们将问题的条件特殊化，就可以找到结论，从而发现解题前进的方向。

例1：（2004年江苏卷T20）设无穷等差数列{an}中的前n项和为Sn。

（Ⅰ）若首项a1=■，公差d=1，求满足S■=(Sk)2的正整数k；

（Ⅱ）求所有的无穷等差数列{an}，使得对一切正整数k都有S■=(Sk)2成立。

分析：在高三备考复习中，第二小问有不少学生利用等差数列的求和公式将S■=(Sk)2转化成关于k的多项式恒成立的问题求解，即证k2a1+■d=[ka1+■d]2对一切正整数恒成立，但因过繁而不能得出正确答案，若将特殊化，由时的情形，就可以找到所有这样的等差数列。

解：设无穷等差数列{an}的公差为d，在S■=(Sk)2中令k=1,2得S1=(S1)2S4=(S2)2即a1=a124a1+6d=(2a1+d)2解得a1=0d=0或6或a1=1d=0或2

代入S■=(Sk)2检验后符合的有三种解：a1=0d=0或a1=1d=0或a1=1d=2所以，满足条件的无穷等差数列是：an=0，或an=1，或an=2n-1。

点评：本例通过自然数n取特殊值，找到满足条件的数列，也就明确了解题的方向，下一步只须一一验证即可。一些数值恒定、位置恒定的问题，往往可以先由特殊值、特殊位置找到结论，后面解题目标就明确了。

二、活用特殊化，寻找解题途径

对高考问题的条件特殊化，通过特殊条件下的解题思路与方法的推广与延伸，有时也可帮助发现一般问题的解法。

例2：（2011年高考四川卷理科T22）已知函数f(x)=■x+■，h(x)=■。

（Ⅰ）设函数F(x)=f(x)-h(x)，求f(x)的单调区间与极值；

（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程log4[■f(x-1)-■]=log2h(a-x)-log2h(4-x)；

（Ⅲ）试比较f(100)h(100)-■h(i)与■的大小。

分析：作为压轴题实际上三个小题互不相干，严格说来不算综合题，实际上就是把三个不相干的总题硬捆在一起。

（Ⅰ）导数应用的基本问题，简单。（Ⅱ）也不是太难，方程两边化为同底的对数，去掉对数，转化为不等式即可。（Ⅲ）入手较难，关键是一般性思维行不通。下面从特殊值考虑：

当n∈N，n≥1时，比较f(n)h(n)-■h(i)与■的大小。

令g(n)=f(n)h(n)-■h(i)-■=(■+■)■-(■+■+…+■)-■，

试算：g(1)=0，g(2)=(■+■)■-(■+■)-■=■>0，

g(3)=(■+■)■-(■+■+■)-■=■-■+■=■+■>0。

可以猜测，当n∈N，n≥2时

有g(n)=(■+■)■-(■+■+…+■)-■>0…①

证明①式，用数学归纳法并不难。

点评：本题中验证特殊情况，n=1，2，3，再推广到一般情形从而问题得证。

三、适用特殊化，轻解高考中的客观题

对一些高考题通过不确定的位置、量的特殊化，可以直接得到答案，特别是选择题和填空题，因为不需要写出解答过程，逻辑方法显得很简捷，从而避免了“小题大作”。

例3：等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项和为（ ）

A.130 B.170 C.210 D.260

分析：对于本题，若利用基本解法，求得S3m=210，但计算量大，不算是一种好方法。若利用等差数列特殊性质，很容易求出S3m=3(S2m-Sm)=210；但利用此法的前提是知道这些等差数列的性质并能顺利提取。若退到特殊状态m=1，于是a1=30，a1+a2=

100，a2=70，从而S3=30+70+110=210，相比之下此解法思维层次较高，能迅速使问题得到解决。