解析内插法GPS高程拟合的探讨

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摘 要：随着科学技术的发展，GPS技术在诸多高端领域中得到了广泛的应用。使用GPS技术可以为地面点高程的确定提供了有效途径。在工程实践当中，应用GPS高程拟合法，就可以将应用GPS技术所测得的大地高转换适合于工程上使用的正常高。本文针对内插法GPS高程拟合进行探讨。

关键词：GPS；内插法；高程拟合

中图分类号：P258 文献标识码：A 文章编号：

GPS（Global Positioning System）是“全球卫星定位系统”的简称。从定位原理上来看，GPS定位的已知起算数据是当卫星进行高速运动的时候，所处的瞬间点，根据这一点所在的空间位置，使用后方交会的方法，将待测点的位置通过计算的方法确定下来。目前，传统的三角测量已经被GPS技术所取代了。在对于平面坐标的测量上，使用GPS进行控制网的测量，可以获得高精度的结果。在实际的应用中，一般会采用GPS高程拟合的方法进行数据转化，以弥补中立数据缺乏的弊端。然而在国内外，GPS高程拟合的方法有很多种。这些方法都有各自的应用范围。其中的一些拟合方法，没有得到应用领域的证实，但是其理论已经基本成熟。本文主要针对解析内插法gps高程拟合方法进行探讨，并采用比较的方法着重分析其实用性以及可靠性。

一、最小二乘曲面拟合法

对于正常高的确定，一般会采用重力测量配合天文测量的方法，通过计算而确定出来的。然而如果将测量的范围扩大，使用这种方法就会受到诸多条件的限制。GPS技术的出现，可以将WGS84坐标系下的大地高利用GPS测量出来，经过技术处理后，就可以获得较为精确的正常高。具体而言，获得待定点的正常高的计算方法，所采用的就是数学拟合的方法。采用平面坐标，以及高程异常值，构造出一种可以替代的大地水平面。先将其他的高程异常值使用GPS技术计算出来，然后将待定点的高程异常内插入其中，使正常高以转换的方式获得。

也就是说，要获得正常高，就首先要将高程的异常值计算出来。其转换公式为：

H正=H地-ξ（ξ，即为高程异常值）

对于拟合法的选用，被较为普遍接受的是最小二乘曲面拟合法。

假设利用GPS测量，并处理过的坐标为（x，y），待估参数设定为a0,a1,a2。那么，平面高程拟合的公式为：ξ= a0+ a1 x+ a2 x

如果观察值的个数为1个，可以通过计算，很容易地获得。而如果观察值个数已经超过了2个，那么，就需要先将误差方程建立起来，即ξ=Aa。

根据最小二乘曲面拟合法，可以得出：α=（ATA）-1ATξ，从而，将ξ计算出来。可见，使用这种最小二乘曲面拟合法，随着观察值的个数越多，其计算起来就越是繁琐，并以最小二乘曲面拟合法因此容易造成误差。

二、解析内插法的几种方法

解析内插法，包括有多项式曲线内插法、三次样条曲线拟合法、Akima法。

（一）多项式曲线拟合法

采用多项式曲线拟合法的前提条件是，GPS观测点药呈现出线性的布设。将其设定为代替大地水平面，然后将这条平滑的曲线进行连接，将其建立在平面坐标上，并计算出ξ。对于似大地水平面的曲线，就需要采用拟合的方式，将一个插值函数构造出来，并拟合在侧线方向上，之后，将其内插其他的观察点上，以测出高程异常。

多项式曲线拟合法的公式为：

ξ= a0+ a1 x+ a2 x2+ a3 x3+K+ an xn（x为拟合点的x坐标或者是y坐标，根据计算的需要，还可以将其设定为各个拟合点与中心点之间的距离。）

在各个高程点所出现的已知高程异常可以用ξ（xi）来表示,这其中，

i=0，1，2，3…n.

那么，其与拟合值之间的差即为：γ=ξ（x）-ξ

如果使用最小二乘原理，需要将多项式曲线拟合法的公式中的a计算出来，然后，在根据此公式，将侧线方向上的某一点的高程异常值计算出来。

从多项式曲线拟合法的公式表达，可以明确，如果插值多项式的次数越多，就越是会影响到任意一个测区的准确性。然而，采用这种拟合方法，具有拟合范围扩大的优点。当然了，随着高程异常复杂化，拟合出的曲面震荡也就会随着增大，从而造成了削高补低误差增大的缺点。

可见，多项式曲线拟合法比较适用于中段距离的测量。诸如对于线状测区则更为合适一些，而不能够适合于任意的测区。

（二）三次样条曲线拟合法

鉴于多项式拟合存在着一定的局限性，就可以采用三次样条曲线拟合法，用来弥补多项式拟合对于侧线过长，观测点个数过多而出现的异常状况。当由于这些因素而导致高程异常变化的时候，就会导致测量精度的降低。

三次样条曲线，实际上是一种拼接起来的曲线，由很多的三次多项式曲线所构成。这种表达方式计算简单，而且具有稳定性和灵活性。由于其表达上的简洁性，所以对于侧线较长的大地水准面拟合更为实用。

三次样条函数关系式为：

ξ（x）=ξ（xi）+（x-xi）ξ（xi+ xi+1）+（x-xi）（xi+ xi+1）ξ（x +xi+ xi+1）

公式中，x：待求坐标；

xi， xi+1：待求点两端的已知点坐标，ξ（xi+ xi+1）为一阶差熵；ξ（x +xi+ xi+1）为二阶差熵。

采用数学的方法，将一阶差熵和二阶差熵计算出来之后，就可以将各个插值点的ξ计算出来了。

值得注意的是，采用三次样条曲线拟合方法，要保证测区为线性带状，而且高程已知点充足，以便于得出精确的高程异常值。

（三）Akima法曲线拟合法

根据Akima法原理，实测点的内插，是发生在两个实测点之间。比如，当在两个实测点之间内插的时候，所需要的实测点为6个。这就是说，在进行内插的时候，除了两个实测值是非常必要的之外，每个点都与两个实测点相邻，那么四个实测点的观测值都是计算中所必要的。

寻找具有连续的一阶导数的光滑曲线f(x),已知点数据点为（xi，yi）（i=1，2，3，4，5，…，n）

具体而言，在使用Akima法曲线拟合法的时候，为了达到函数的连续性，则需要将两个已知点以外的两个点内插。在邻近的两个数据点之间，逼近所采用的是三次多项式。

根据上面介绍的三种解析内插法，可以得出结论：在三种解析内插法的使用上，各自都有自己的优点，同时也存在着不足。那么，在选用的时候，要根据需要和实际的情况来使用。仅仅从使用原理上来看，多项式曲线拟合法的精度要略显低一些，三次样条曲线拟合法的精度则相对较高。相比较而言，Akima法显然精度很低，从边缘拟合的角度来看，效果更是不够理想。

那么，在实际应用中，如果采用多项式拟合法对线路拟合，其所达到的成果是比较符合标准的。采用三次样条曲线法，则可以达到更高的精度。应用GPS技术，在整条测线上，水准联测点都要分步均匀，而且数量最好要达到总点数的20%。Akima法由于拟合的误差偏大，在线路工程当中，显然不适合于高程拟合。

结语：

综上所述，虽然现在国内外普遍使用最小二乘曲面拟合法来对GPS技术所获得的高程异常值进行转换，并获得正常高，但是，由于其在应用中的繁琐性，而且很容易出现误差。本论文着重介绍了内插法GPS拟合，并且将三种内插法的各自特点以比较的方式进行了表达。

参考文献：

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[2]彭正泉，陈琪， 陆继龙. 解析内插法GPS高程拟合的探讨[J].中华民居，2013(15).

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