草图解题初探

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草图是一种画图形式，在数学教学中更是一种重要的解题策略。草图策略，即根据数学信息和问题画出相应的图形来帮助审题、理解题意和分析数量关系，从而使复杂的问题变得简单，抽象的问题变得直观，最终轻松地解决实际问题。本文旨在通过对学生画图解题的现状的分析，并结合笔者的教学经验，谈谈草图策略在小学高年级数学教学中的应用。

一、探究的背景

近几年，笔者一直担任小学高年级数学的教学。在课堂练习、课后作业和考试测验中发现，得分率较低的题型主要有：稍微复杂且抽象的应用题、较难的空间几何知识题以及综合题。学生对这些类型的题目往往是一知半解，尤其是遇到那些数学信息较隐蔽、数量关系较抽象的题目时更是束手无策。

例如，在一次六年级上册第四单元的测试之后，笔者通过对本班的试卷分析发现：第五大题“解决问题”中的第5小题得分率只有30%。题目是这样的：在一个直径为10米的花园的外边沿铺一条宽1米的小路，求这条小路的面积。本题的特点是：文字少，条件少，看起来简单。但是，题中的数量10米和1米之间的关系却较为抽象，不能直接看出它们之间的关系。因此，学生在解题时，容易出现以下错误：

3.14×（102-12）＝310.86（平方米）；10÷2＝5（米），3.14×（52-12）＝75.36（平方米）。

其实，只要我们根据该题的数学信息画出相应的草图，就可以使题中的数量关系变得清晰、明了，从而轻松解题。从图1中便可看出：

求小路的面积就是求圆环的面积。内圆半径：10÷2＝5（米）；外圆半径：5+1＝6（米）；小路的面积：3.14×(62-52)=34.54(平方米)

由此可见，画图解题既是数形结合思想的体现，又是重要的解题策略。在小学数学教学中，画图策略主要表现在把抽象的数量关系转化为适当的图形，从图形的直观特征发现数量之间存在的联系，以达到化复杂为简单、化抽象为直观和化隐为显的目的，最终更轻松地解出题目。

值得深思的是：既然画图可以帮助学生顺利解题，为什么大多数学生在解题时却不愿画图呢？于是，笔者对学生画图解题的现状进行了调查分析。

二、学生画图解题的现状分析

笔者对班上的学生进行了一次问卷调查。调查内容如下：

①在平时解题中，如果遇到一些稍复杂的问题（既不是空间图形题，又没有作图要求），有没有尝试过画图来帮助解题？

A.经常 B.偶尔 C.没有

②你喜欢通过画图来解决问题吗？为什么？

A.喜欢 B.不喜欢

喜欢的原因:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

不喜欢的原因：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

调查结果可归纳为两点。其一，平时解题时，如果遇到稍复杂的问题（既不是空间图形题，又没有作图要求），只有约11%的学生会尝试画图去解题。其二，学生喜欢画图解决问题是因为画图可以使复杂的问题变得简单，可以更清楚地分析数量之间的关系；学生不喜欢画图解决问题是因为觉得画图很麻烦，很浪费时间。

调查显示，学生画图解题的意识较淡薄，究其原因是受到平时画图规范的影响，认为画图不但要用尺子一板一眼地画，还要画得准确，结果学生把图画得很漂亮，可是画图的意识却被压抑了。

其实，在教学中我们不难发现，在解决许多较为复杂的数学问题时是不需要画规范图的，只要能根据题意画出简单明了的草图，帮助分析题中的数量关系就可以了。而且，同一道题的数量关系可以用不同的草图来表达。草图既可以突显画图的灵活性，发挥学生的思维创造力，又可以节省时间，有效地提高解题效率。

因此，笔者认为，在小学阶段，尤其在小学高年级数学的教学中应让学生深刻体会到草图解题的应用价值，培养学生画草图解题的习惯，让草图成为学生的解题策略。

三、草图策略的应用

小学数学教材中有许多数学问题都可以通过画草图来解决，这就需要教师充分挖掘能体现画草图的教学内容，在教学中根据具体情况适当地应用草图策略，让学生体验草图策略的价值。现以人教版五、六年级的相关知识内容为例，谈谈草图策略的应用。

1. 画草图解决稍复杂的数学问题——化复杂为简单

在解决一些稍复杂的数学问题时，由于题中数量关系比较复杂，学生较难理解数量之间的关系。这时，教师可以引导学生画草图，通过数与形相结合的形式，将数量之间的关系清晰地梳理出来。

例如，教学例题“白色皮有20块，比黑色皮的2倍少4块。共有多少块黑色皮？”笔者要求学生熟读题目，明确题目中的条件和问题，引导学生根据题意，用自己喜欢的方式画草图来理清数量之间的关系。

结果学生所画的草图主要有：示意图和线段图。

生1：

生2：

生3：

对于学生画出的各种草图，教师都应给予肯定，鼓励学生的求异思维，并让学生通过自己所画的图说说自己的解题思路。通过对比不同的草图，让学生认识到，画草图来解题是一种很重要的解题策略。

然后，引导学生根据线段图列出数量关系式。最后，列出方程：

①黑色皮的块数×2－白色皮的块数＝4 2x-20=4

②黑色皮的块数×2-4＝白色皮的块数 2x-4=20

③黑色皮的块数×2＝白色皮的数+4 2x=20+4

④黑色皮的块数＝(白色皮的块数+4)÷2 x=(20+4)÷2

如果学生仅从字面理解题意，那么班上只有很少的学生能准确地列出数量关系式，而且这些学生只会列一种或两种方程；如果教师引导学生画草图分析题意，那么班上大部分学生能准确地列出数量关系式，并列出不同的方程来解题。

另外，草图除了可以帮助分析稍复杂的方程问题，还可用于稍复杂的分数或百分数问题的分析上，均可有效地帮助学生解题（见表1）。

2. 画草图解决抽象的数学问题—— 化抽象为直观

“数学广角”的设置是教材改革的一大亮点，也是教学内容中的一个难点。许多学生都觉得“数学广角”里的知识很抽象，难以理解，尤其是到了小学中高年级以后，中差等生学起“数学广角”里的知识更是格外吃力。其实，在解决这些抽象的数学问题时，教师可以引导学生通过画草图分析题意，化抽象为直观，最终解决问题。