化归思想之我见

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摘 要：在中学数学教学中，应用化归思想方法解题应注意强化通性通法教学，掌握化归的一般方法. 随着化归方法教学的日益普及和深入，一些问题也摆在我们面前，“化归”在数学理论研究以及数学教学中集“保守与创新”于一体，在利用“化归”时要注意它的“双重身份”.

关键词：数学教学；数学思想；化归思想

数学思想方法对于中学数学教与学的重要性，目前已得到数学教育界的普遍认可. 数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化. 以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现. 分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段. 因此，转化与化归是数学思想方法的灵魂. 在中学数学教学中，应用化归思想方法解题应注意以下几个方面.

■强化通性通法教学

通性通法使人有章可循，在教学中强化通性通法，有助于真正掌握基础知识、基本技能，进而形成相对稳定的数学模式，从而解决一类相关问题.

1. 寻求更为一般的解法

例1 已知圆O：（x-a）2+（y-2）2=4（a>0），直线l：x-y+3=0，当直线l被C截得的弦长为2■时，a等于（ ）

A. ■ B. 2-■

C. ■-1 D. ■+1

思考1：注意到问题的数值特征，在RtAOD中，cos∠OAD=■，得∠OAD=30°，则d=OD=1. 又d=■=■，注意到a>0，所以a=■-1.

■

图1

思考2：若问题所给的数据发生变化，即∠OAD不是特殊角，又该如何处理？较为一般的处理方法是在RtADC中利用勾股定理计算出d，接下来的过程与（1）相同.

2. 探求更为一般的结论

例2 已知a，b，m∈R+，且a■（课本例题）.

讲完这道题后，对问题进一步拓展：若0

借助例题，学生很快得出结论：■b>0）在（0，+∞）上是增函数.

3. 总结更为一般的模式

数学问题千变万化，却有规律可循，例如二次函数极值问题，它的求解过程总不外乎这样三个步骤：①得到二次函数；②确定变量的取值范围；③根据抛物线对称轴位置及开口方向确定极值，从而形成一类问题的解决模式. 中学数学中这样的情况很多，教学中教师要善于总结归纳，并通过练习，提高学生模式识别能力，学会通过适当代换、合理变形，转化为熟悉的解题模式.

例3 已知f（t）=log2t，t∈[■，8]，对于f（t）值域内的所有实数m，不等式x2+mx+4>2m+4x恒成立，求x的取值范围.

解：因为t∈[■，8]，所以f（t）∈■，3，原题转化为m（x-2）+（x-2）2>0恒成立，它是关于m的一次函数，当x=2时，不等式不成立，所以x≠2. 令g（m）=m（x-2）+（x-2）2，m∈■，3，问题转化为g（m）在m∈■，3上恒大于0，

则g■>0，g（3）>0，解得x>2或x

评析：本题利用变量与参数变更关系，视m为主元，转换思考的角度，使解法变得简单易行.

■掌握化归的一般方法

化归的实质是不断变更问题， 可以从变形的成分去考虑；也可从实现化归的常用方法直接考虑. 下面举例说明.

1. 对问题中的未知成分进行变形

例3 过圆外一点P（a，b），作圆x2+y2=r2的切线，求经过两切点的直线方程.

分析：对结论不急于求成，退一步先写出经过P（a，b）的圆的切线方程，这是学生十分熟悉的问题. 设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则两切线方程为x1x+y1y=r2，x2x+y2y=r2，

因两切线都过P（a，b），得x1a+y1b=r2，x2a+y2b=r2，至此，再求问题的结论已是轻而易举，不攻自破.

2. 对问题中的已知成分进行变形

例4 求函数f（x）=x+■的最值.

分析：看到函数解析式，很快联想到基本不等式：当a>0，b>0时，a+b≥2■. 本题缺少x>0这样的条件，可先求得f（x）=x+■的最值，则函数f（x）=x+■的最值便迎刃而解. 因x+■=x+■≥2■=2■，故x+■≥2■或x+■≤-2■，即当x>0时，函数f（x）=x+■有最小值2■；当x

3. 对问题进行形式转化

例5 设函数f（x）是奇函数，对？坌x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=-2，且当x>0时，f（x）

分析：f（x）是奇函数，当x>0时，有f（x）

解：设x1，x2∈R+，且x1

因为x2-x1>0，所以f（x2-x1）

点评：问题形式的转化，常能找到熟悉的解决方法.

4. 把问题进行正反转化

例6 （2009丹阳中学一模）设p：4x-3≤1，q：（x-a）（x-a-1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________.

解析：由题意知4x-3≤1？圳-1≤4x-3≤1，故p的解集A=■，1，q的解集B=[a，a+1].

又p是q的充分不必要条件，

故A？埭B，所以a≤■，a+1≥1.

所以0≤a≤■.

点评：“充分条件和必要条件”是四种命题的关系的深化，它们之间存在着密切的联系，在正面判断较难时，可转化为该命题的逆否命题进行判断.

5. 将问题进行数形转化

例7 对？坌x∈R，试求函数f（x）=■+■的值域.

分析：等式右边通过转化就是动点到两个定点的距离之和.

解：f（x）=■+■ 表示动点x，■到定点■，0，-■，0的距离之和，故f（x）≥2■，即函数的值域为[2■，+∞）.

点评：数形转化与数形结合是解题的常用思想方法，本题亦可用基本不等式求解，但应注意取等号的条件.

化归思想在中学数学中有着十分广泛的运用，成为数学思想方法教学中的热点之一. 但随着化归方法教学的日益普及和深入，一些问题也摆在我们面前. 在教学中，笔者对化归思想的运用做了以下几方面思考.

思考一：化归思想是否只有通过解题教学这条唯一的途径才能培养？答案显然是否定的. 在教学过程中，笔者体会到化归思想不仅仅隐含在解题过程中，还蕴藏在数学概念、定义、定理、公式、法则等之中. 比如：三角函数的概念就将三角函数化归为代数中的比值；圆锥曲线的统一定义就是点到点的距离与点到直线的距离的相互转化；线面平行的判定定理就是将线线平行转化为线面平行；面面平行的判定定理就是将线面平行转化为面面平行；同角三角函数的基本关系式就是六个三角函数的相互转化；对数的运算法则就是将复杂的乘、除、乘方、开方的运算转化为简单的加、减、倍、积运算……如何通过教学数学基础知识来培养化归思想有待研究.

思考二：在化归思想的运用过程中，还要注意克服其负面影响. 在教学过程中，笔者发现化归思想的运用存在瑕疵. 比如，在解“无理不等式”时，通常方法是：将无理不等式化归为有理不等式组，即“平方法”，但是在教学过程中，我们只强调“平方法”，会影响学生的创新. 在强调基本方法的同时，我们还要鼓励学生积极思维，学会创造性地解决问题.

例8 解下列关于x的方程：

（1）■+x=2；

（2）■+2=x；

（3）■=x-7.

分析：（1）采用常规方法，移项、再平方，将此无理方程化归为有理方程求解.

（2）如果还是像（1）一样，移项、两边平方，再解有理方程，就是受到化归负面效应影响的结果. 此时，教师应鼓励学生积极思考，找到简单明了的解题方法：先移项，可发现，此方程仅在x-2=0成立，故方程的解为x=2.

（3）由平方根的意义知5-x≥0，且x-7≥0，显然x不存在，故原方程无解.

例9 解不等式 ■+■≤8.

分析：若用常规方法解题，即平方、移项、合并同类项等方法将其化归为有理方程求解，其复杂性是显而易见的. 注意到不等式左边的结构特点，可化为■+■≤8，这时化静为动得到一个平面区域：■+■≤8及其内部区域，再以静制动，这是一个a=4，c=3的椭圆■+■=1. 令y=2，可得原不等式的解为■≤x≤■.

解决该题即克服了化归的负面效应，实现了解题创新，其实质也是一种转化――数形转化.

从上述例题可看出，化归思想是中学数学解题的重要思想方法，但并非万能方法，即并不是所有的问题都可以通过化归解决的. 化归思想的成功应用是以“数学发现”为前提的. 这就需要我们在利用“化归”时注意它的创新与保守的“双重身份”，切忌面对新的数学问题生搬硬套原来的解题模式、方法.